Krylov–Bogoliubov averaging method

( Метод усреднения Крылова–Боголюбова метод усреднения Крылова–Боголюбова ) — математический метод приближенного анализа колебательных процессов в нелинейной механике. Метод основан на принципе усреднения, когда точное дифференциальное уравнение движения заменяется его усредненной версией. Метод назван в честь Николая Крылова и Николая Боголюбова .

Различные схемы усреднения для изучения задач небесной механики использовались начиная с работ Гаусса , Фату , Делоне , Хилла . Важным вкладом Крылова и Боголюбова является то, что они разработали общий подход к усреднению и доказали, что решение усредненной системы аппроксимирует точную динамику.

Фон

Усреднение Крылова – Боголюбова можно использовать для аппроксимации колебательных задач, когда классическое разложение по возмущениям не удается. Это сингулярные возмущения колебательного типа, например поправка Эйнштейна к прецессии перигелия Меркурия .

Вывод

Метод имеет дело с дифференциальными уравнениями вида

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+k^{2}u=a+\varepsilon f\left(u,{\frac {du}{dt}}\right)$

для гладкой функции f вместе с соответствующими начальными условиями. параметр ε Предполагается, что удовлетворяет

$0<\varepsilon \ll k.$

Если ε = 0, то уравнение становится уравнением простого гармонического осциллятора с постоянным воздействием, и общее решение имеет вид

$u(t)={\frac {a}{k^{2}}}+A\sin(kt+B),$

где A и B выбираются в соответствии с начальными условиями. Предполагается , что решение возмущенного уравнения (при ε ≠ 0) принимает то же самоеформе, но теперь A и B могут меняться в зависимости от t (и ε ). Если также предположить, что

${\frac {du}{dt}}=kA(t)\cos(kt+B(t)),$

тогда можно показать, что A и B удовлетворяют дифференциальному уравнению:

${\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={\frac {\varepsilon }{k}}f\left({\frac {a}{k^{2}}}+A\sin(\phi ),kA\cos(\phi )\right){\begin{bmatrix}\cos(\phi )\\-{\frac {1}{A}}\sin(\phi )\end{bmatrix}},$

где $\phi =kt+B$. Обратите внимание, что это уравнение по-прежнему точное — никаких приближений еще не было сделано. Метод Крылова и Боголюбова заключается в том, чтобы отметить, что функции А и В изменяются медленно.со временем (пропорционально ε), поэтому их зависимость от $\phi$ может быть (приблизительно) удалено путем усреднения правой части предыдущего уравнения:

${\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\end{bmatrix}}={\frac {\varepsilon }{2\pi k}}\int _{0}^{2\pi }f\left({\frac {a}{k^{2}}}+A_{0}\sin(\theta ),kA_{0}\cos(\theta )\right){\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\-{\frac {1}{A_{0}}}\sin(\theta )\end{bmatrix}}d\theta ,$

где $A_{0}$ и $B_{0}$ остаются фиксированными в процессе интегрирования. После решения этой (возможно) более простой системы дифференциальных уравнений усредненное приближение Крылова – Боголюбова для исходной функции имеет вид

$u_{0}(t,\varepsilon ):={\frac {a}{k^{2}}}+A_{0}(t,\varepsilon )\sin(kt+B_{0}(t,\varepsilon )).$

Было показано, что это приближение удовлетворяет

$\left|u(t,\varepsilon )-u_{0}(t,\varepsilon )\right|\leq C_{1}\varepsilon ,$

где t удовлетворяет

$0\leq t\leq {\frac {C_{2}}{\varepsilon }}$

для некоторых констант $C_{1}$ и $C_{2}$, независимо от эл.