Двухлучевая модель отражения от земли

Модель двухлучевого отражения от земли представляет собой модель многолучевого распространения радиосигнала , которая прогнозирует потери на трассе между передающей и приемной антеннами, когда они находятся на линии прямой видимости (LOS) . Как правило, каждая из двух антенн имеет разную высоту. Принятый сигнал имеет две составляющие: составляющую LOS и составляющую отражения, сформированную преимущественно одной волной, отраженной от земли.

Диаграмма двухлучевого отражения от земли, включая переменные для алгоритма распространения двухлучевого отражения от земли.

Математический вывод

Из рисунка полученную составляющую прямой видимости можно записать как

$r_{los}(t)=Re\left\{{\frac {\lambda {\sqrt {G_{los}}}}{4\pi }}\times {\frac {s(t)e^{-j2\pi l/\lambda }}{l}}\right\}$

а отраженная от земли составляющая может быть записана как

$r_{gr}(t)=Re\left\{{\frac {\lambda \Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}}{4\pi }}\times {\frac {s(t-\tau )e^{-j2\pi (x+x')/\lambda }}{x+x'}}\right\}$

где $s(t)$ передаваемый сигнал, $l$ длина луча прямой видимости (LOS), $x+x'$ длина луча, отраженного от земли, $G_{los}$ - объединенное усиление антенны на трассе прямой видимости, $G_{gr}$ - суммарное усиление антенны на трассе, отраженной от земли, $\lambda$ длина волны передачи ( $\lambda ={\frac {c}{f}}$, где $c$ это скорость света и $f$ – частота передачи), $\Gamma (\theta )$ – коэффициент отражения от земли и $\tau$ - разброс задержки модели, который равен $(x+x'-l)/c$. Коэффициент отражения от земли

$\Gamma (\theta )={\frac {\sin \theta -X}{\sin \theta +X}}$

где $X=X_{h}$ или $X=X_{v}$ в зависимости от того, имеет ли сигнал горизонтальную или вертикальную поляризацию соответственно. $X$ рассчитывается следующим образом.

$X_{h}={\sqrt {\varepsilon _{g}-{\cos }^{2}\theta }},\ X_{v}={\frac {\sqrt {\varepsilon _{g}-{\cos }^{2}\theta }}{\varepsilon _{g}}}={\frac {X_{h}}{\varepsilon _{g}}}$

Константа $\varepsilon _{g}$ — относительная диэлектрическая проницаемость земли (или, вообще говоря, материала, от которого отражается сигнал), $\theta$ — это угол между землей и отраженным лучом, как показано на рисунке выше.

Из геометрии фигуры получаем:

$x+x'={\sqrt {(h_{t}+h_{r})^{2}+d^{2}}}$

и

$l={\sqrt {(h_{t}-h_{r})^{2}+d^{2}}}$,

Следовательно, разница в длине пути между ними равна

$\Delta d=x+x'-l={\sqrt {(h_{t}+h_{r})^{2}+d^{2}}}-{\sqrt {(h_{t}-h_{r})^{2}+d^{2}}}$

а разность фаз между волнами равна

$\Delta \phi ={\frac {2\pi \Delta d}{\lambda }}$

Мощность принимаемого сигнала равна

$P_{r}=E\{|r_{los}(t)+r_{gr}(t)|^{2}\}$

где $E\{\cdot \}$ обозначает среднее (по времени) значение.

Приближение

Если сигнал является узкополосным относительно обратного разброса задержки $1/\tau$, так что $s(t)\approx s(t-\tau )$, уравнение мощности можно упростить до

${\begin{aligned}P_{r}=E\{|s(t)|^{2}\}\left({\frac {\lambda }{4\pi }}\right)^{2}\times \left|{\frac {{\sqrt {G_{los}}}\times e^{-j2\pi l/\lambda }}{l}}+\Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}{\frac {e^{-j2\pi (x+x')/\lambda }}{x+x'}}\right|^{2}&=P_{t}\left({\frac {\lambda }{4\pi }}\right)^{2}\times \left|{\frac {\sqrt {G_{los}}}{l}}+\Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}{\frac {e^{-j\Delta \phi }}{x+x'}}\right|^{2}\end{aligned}}$

где $P_{t}=E\{|s(t)|^{2}\}$ это передаваемая мощность.

Когда расстояние между антеннами $d$ очень велик по сравнению с высотой антенны, которую мы можем расширить $\Delta d=x+x'-l$,

${\begin{aligned}\Delta d=x+x'-l=d{\Bigg (}{\sqrt {{\frac {(h_{t}+h_{r})^{2}}{d^{2}}}+1}}-{\sqrt {{\frac {(h_{t}-h_{r})^{2}}{d^{2}}}+1}}{\Bigg )}\end{aligned}}$

используя Тейлора ряд ${\sqrt {1+x}}$:

${\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+\dots ,$

и взяв только первые два члена,

$x+x'-l\approx {\frac {d}{2}}\times \left({\frac {(h_{t}+h_{r})^{2}}{d^{2}}}-{\frac {(h_{t}-h_{r})^{2}}{d^{2}}}\right)={\frac {2h_{t}h_{r}}{d}}$

Тогда разность фаз можно аппроксимировать как

$\Delta \phi \approx {\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda d}}$

Когда $d$ большой, $d\gg (h_{t}+h_{r})$,

Коэффициент отражения стремится к -1 при больших d.

${\begin{aligned}d&\approx l\approx x+x',\ \Gamma (\theta )\approx -1,\ G_{los}\approx G_{gr}=G\end{aligned}}$

и, следовательно,

$P_{r}\approx P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times |1-e^{-j\Delta \phi }|^{2}$

Расширение $e^{-j\Delta \phi }$используя ряд Тейлора

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots$

и сохранив только первые два члена

$e^{-j\Delta \phi }\approx 1+({-j\Delta \phi })+\cdots =1-j\Delta \phi$

отсюда следует, что

${\begin{aligned}P_{r}&\approx P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times |1-(1-j\Delta \phi )|^{2}\\&=P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times \Delta \phi ^{2}\\&=P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times \left({\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda d}}\right)^{2}\\&=P_{t}{\frac {Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}{d^{4}}}\end{aligned}}$

так что

$P_{r}\approx P_{t}{\frac {Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}{d^{4}}}$

и потери на пути

$PL={\frac {P_{t}}{P_{r}}}={\frac {d^{4}}{Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}}$

что является точным в дальней зоне поля, т.е. когда $\Delta \phi \ll 1$ (углы здесь измеряются в радианах, а не в градусах) или, что то же самое,

$d\gg {\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda }}$

и где объединенный коэффициент усиления антенны является произведением коэффициентов усиления передающей и приемной антенн, $G=G_{t}G_{r}$. Впервые эта формула была получена Б. А. Введенским.

Обратите внимание, что мощность падает как обратная четвёртой степени расстояния в дальней зоне, что объясняется деструктивным сочетанием прямой и отраженной трасс, примерно одинаковых по величине и отличающихся по фазе на 180 градусов. $G_{t}P_{t}$ называется «эффективной изотропной излучаемой мощностью» (EIRP), которая представляет собой мощность передачи, необходимую для получения той же принимаемой мощности, если бы передающая антенна была изотропной.

В логарифмических единицах

В логарифмических единицах: $P_{r_{\text{dBm}}}=P_{t_{\text{dBm}}}+10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})-40\log _{10}(d)$

Потеря пути: $PL\;=P_{t_{\text{dBm}}}-P_{r_{\text{dBm}}}\;=40\log _{10}(d)-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})$

Характеристики мощности и расстояния

Когда расстояние $d$ между антеннами меньше высоты передающей антенны, конструктивно добавляются две волны для получения большей мощности. По мере увеличения расстояния эти волны складываются конструктивно и разрушительно, создавая области затухания и затухания. Когда расстояние превышает критическое расстояние $dc$ или первой зоне Френеля, мощность падает пропорционально величине, обратной четвертой степени $d$. Приближение критического расстояния можно получить, установив Δφ равным π как критическое расстояние до локального максимума.

Расширение возможностей антенны большой высоты

Приведенные выше приближения справедливы при условии, что $d\gg (h_{t}+h_{r})$, что может быть не так во многих сценариях, например, когда высота антенны ненамного меньше по сравнению с расстоянием или когда землю нельзя смоделировать как идеальную плоскость. В этом случае нельзя использовать $\Gamma \approx -1$ и требуется более точный анализ, см., например,

Моделирование распространения для высотных платформ , БПЛА , дронов и т.д.

Вышеупомянутое большое увеличение высоты антенны может использоваться для моделирования канала распространения «земля-воздух», как в случае воздушного узла связи, например, БПЛА, дрона, высотной платформы. Когда высота воздушного узла от средней до высокой, соотношение $d\gg (h_{t}+h_{r})$ уже не держит, угол зазора не мал и, следовательно, $\Gamma \approx -1$ тоже не держит. Это оказывает глубокое влияние на потери на трассе распространения, типичную глубину замирания и запас на замирание, необходимый для надежной связи (низкая вероятность сбоя).

В случае модели потерь на пути логарифмического расстояния

Стандартное выражение модели потерь на трассе логарифмического расстояния в [дБ]:

$PL\;=P_{T_{dBm}}-P_{R_{dBm}}\;=\;PL_{0}\;+\;10\nu \;\log _{10}{\frac {d}{d_{0}}}\;+\;X_{g},$

где $X_{g}$ — крупномасштабное (логарифмически нормальное) замирание, $d_{0}$ — эталонное расстояние, на котором потери на трассе составляют $PL_{0}$, $\nu$ – показатель потерь на трассе; обычно $\nu =2...4$. Эта модель особенно хорошо подходит для измерений, при этом $PL_{0}$ и $\nu$ определяются экспериментально; $d_{0}$ выбирается из соображений удобства измерений и обеспечения прямой видимости. Эта модель также является ведущим кандидатом для систем 5G и 6G. а также используется для внутренней связи, см., например, и ссылки в нем.

Потери на трассе [дБ] двухлучевой модели формально представляют собой особый случай с $\nu =4$:

$PL\;=P_{t_{dBm}}-P_{r_{dBm}}\;=40\log _{10}(d)-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})$

где $d_{0}=1$, $X_{g}=0$, и

$PL_{0}=-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})$,

что справедливо для дальнего поля, $d>d_{c}=4\pi h_{r}h_{t}/\lambda$ = критическое расстояние.

В случае многонаклонной модели

Двухлучевую модель отражения от земли можно рассматривать как модель с несколькими наклонами с точкой излома на критическом расстоянии с наклоном 20 дБ/декаду до критического расстояния и наклоном 40 дБ/декада после критического расстояния. Используя описанную выше модель свободного пространства и двух лучей, потери на пути распространения можно выразить как

$L=\max\{G,L_{min},L_{FS},L_{2-ray}\}$

где $L_{FS}=(4\pi d/\lambda )^{2}$ и $L_{2-ray}=d^{4}/(h_{t}h_{r})^{2}$ – потери на пути в свободном пространстве и на двухлучевом пути; $L_{min}$ — минимальные потери на трассе (на наименьшем расстоянии), обычно на практике; $L_{min}\approx 20$ дБ или около того. Обратите внимание, что $L\geq G$ а также $L\geq 1$ следуют из закона сохранения энергии (поскольку мощность Rx не может превышать мощность Tx), так что обе $L_{FS}=(4\pi d/\lambda )^{2}$ и $L_{2-ray}=d^{4}/(h_{t}h_{r})^{2}$ сломаться, когда $d$ достаточно мал. Это следует иметь в виду при использовании этих приближений на малых расстояниях (игнорирование этого ограничения иногда приводит к абсурдным результатам).

См. также

• Модель распространения радиосигнала
• Потеря пути в свободном пространстве
• Уравнение передачи Фрииса
• МСЭ-R P.525
• Связать бюджет
• Трассировка лучей (физика)
• Отражение (физика)
• Зеркальное отражение
• Шестилучевая модель
• Десятилучевая модель

Дальнейшее чтение

• С. Салус, Измерение распространения радиоволн и моделирование каналов, Wiley, 2013.
• Дж. С. Сейболд, Введение в распространение радиочастот, Wiley, 2005.
• К. Сивяк, Распространение радиоволн и антенны для персональной связи, Artech House, 1998.
• M.P. Doluhanov, Radiowave Propagation, Moscow: Sviaz, 1972.
• V.V. Nikolskij, T.I. Nikolskaja, Electrodynamics and Radiowave Propagation, Moscow: Nauka, 1989.
• 3GPP TR 38.901, Исследование модели канала для частот от 0,5 до 100 ГГц (выпуск 16), София Антиполис, Франция, 2019 г. [2]
• Рекомендация МСЭ-R P.1238-8: Данные о распространении радиоволн и методы прогнозирования для планирования внутренних систем радиосвязи и локальных радиосетей в диапазоне частот от 300 МГц до 100 ГГц [3]
• С. Лойка, ELG4179: Основы беспроводной связи, конспект лекций (лекции 2–4), Университет Оттавы, Канада, 2021 г. [4]