Финансовая корреляция

Финансовые корреляции измеряют взаимосвязь между изменениями двух или более финансовых переменных с течением времени. Например, цены на акции и облигации с фиксированной процентной ставкой часто движутся в противоположных направлениях: когда инвесторы продают акции, они часто используют выручку для покупки облигаций, и наоборот. В этом случае цены на акции и облигации отрицательно коррелируют.

Финансовые корреляции играют ключевую роль в современных финансах . В рамках модели ценообразования капитальных активов (CAPM; модель, признанная Нобелевской премией ) увеличение диверсификации увеличивает соотношение доходности и риска. Меры риска включают стоимость , подверженную риску, ожидаемый дефицит и отклонение доходности портфеля .

Финансовая корреляция и коэффициент корреляции момента продукта Пирсона

Существует несколько статистических показателей степени финансовой корреляции. Коэффициент корреляции момента продукта Пирсона иногда применяется для финансовых корреляций. Однако ограничения корреляционного подхода Пирсона в финансах очевидны. Во-первых, линейные зависимости, оцениваемые с помощью коэффициента корреляции Пирсона, в финансах встречаются нечасто. Во-вторых, меры линейной корреляции являются мерами естественной зависимости только в том случае, если совместное распределение переменных является эллиптическим . Однако лишь немногие финансовые распределения, такие как многомерное нормальное распределение и многомерное распределение Стьюдента, являются частными случаями эллиптических распределений, для которых мера линейной корреляции может быть осмысленно интерпретирована. В-третьих, нулевой коэффициент корреляции момента произведения Пирсона не обязательно означает независимость, поскольку учитываются только два первых момента. Например, $Y=X^{2}$ ( y ≠ 0) приведет к тому, что коэффициент корреляции Пирсона будет равен нулю, что, возможно, вводит в заблуждение. Поскольку подход Пирсона неудовлетворителен для моделирования финансовых корреляций, количественные аналитики разработали конкретные меры финансовой корреляции. Точная оценка корреляций требует, чтобы процесс моделирования маргинальных значений включал в себя такие характеристики, как асимметрия и эксцесс . Игнорирование этих атрибутов может привести к серьезной ошибке оценки корреляций и ковариаций, имеющих отрицательные смещения (до 70% от истинных значений). При практическом применении оптимизации портфеля точная оценка дисперсионно-ковариационной матрицы имеет первостепенное значение. Таким образом, прогнозирование с помощью моделирования Монте-Карло с копулой Гаусса и четко заданными маргинальными распределениями является эффективным.

Показатели финансовой корреляции

Корреляционные броуновские движения

Стивен Хестон применил корреляционный подход отрицательно коррелировать стохастическую доходность акций ${\frac {dS(t)}{S(t)}}$ и стохастическая волатильность $\ \sigma (t)$. Основными уравнениями исходной модели Хестона являются два стохастических дифференциальных уравнения , СДУ.

${\frac {dS(t)}{S(t)}}=\mu \,dt+\sigma (t)\,dz_{1}(t)$ (1)

и

$d\sigma ^{2}(t)=g[\sigma _{L}^{2}-\sigma ^{2}(t)]\,dt+\xi \sigma (t)\,dz_{2}(t)$ (2)

где S — базовая акция, $\ \mu$ ожидаемый темп роста $S$, и $\ \sigma (t)$ стохастическая волатильность $S$ во время т. В уравнении (2) g — это средняя скорость реверсии (сила тяжести), которая увеличивает дисперсию $\ \sigma ^{2}(t)$ к своему долгосрочному среднему значению $\sigma _{L}^{2}$, и $\ \xi$ – волатильность волатильности σ(t). dz(t) – стандартное броуновское движение , т.е. $dz(t)=\varepsilon _{t}{\sqrt {dt}}$, $\ \varepsilon _{t}$ это iid , в частности $\varepsilon _{t}$ представляет собой случайный рисунок из стандартизированного нормального распределения n~(0,1). В уравнении (1) основное $S$ следует стандартному геометрическому броуновскому движению, которое также применяется в модели Блэка-Шоулза-Мертона , которая, однако, предполагает постоянную волатильность. Корреляция между случайными процессами (1) и (2) вводится путем корреляции двух броуновских движений $dz_{1}$ и $dz_{2}$. Мгновенная корреляция $\ \rho$ между броуновскими движениями

$\operatorname {Corr} [dz_{1}(t),dz_{2}(t)]=\rho \,dt$ (3).

Определение (3) удобно моделировать тождеством

$dz_{1}(t)={\sqrt {\rho }}dz_{2}(t)+{\sqrt {1-\rho }}\,dz_{3}(t)$ (4)

где $dz_{2}(t)$ и $dz_{3}(t)$ независимы, и $dz(t)$ и $dz(t')$ независимы, t ≠ t'.

Коинтеляция SDE связывает приведенные выше СДУ с концепцией возврата к среднему значению и дрейфа, которые обычно понимаются неправильно. практикующими врачами.

Биномиальный коэффициент корреляции

Еще один показатель финансовой корреляции, в основном применяемый к корреляции дефолтов: – это биномиальный корреляционный подход Лукаса (1995). Определим биномиальные события $1_{X}=1_{\{\tau _{X}\leq T\}}$ и $1_{Y}=1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}$ где $\tau _{X}$ это время объекта по умолчанию $X$ и $\tau _{Y}$ это время объекта по умолчанию $Y$. Следовательно, если сущность $X$ значения по умолчанию до или во время $T$, случайная индикаторная переменная $1_{X}$ примет значение 1 и 0 в противном случае. То же самое относится и к $Y$. Более того, $P(X)$ и $P(Y)$ это вероятность по умолчанию $X$ и $Y$ соответственно, и $P(XY)$ – совместная вероятность дефолта . Стандартное отклонение биномиального события с одним испытанием равно ${\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}$, где P — вероятность результата X. Следовательно, мы получаем общий коэффициент зависимости по умолчанию для биномиальных событий $1_{\{\tau _{X}\leq T\}}$и $1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}$ как

$\rho (1_{\{\tau _{X}\leq T\}},1_{\{\tau _{Y}\leq T\}})={\frac {P(XY)-P(X)P(Y)}{{\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}{\sqrt {P(Y)-(P(Y))^{2}}}}}$ (5).

По своей конструкции уравнение (5) может моделировать только биномиальные события, например дефолт и отсутствие дефолта. Биномиальный корреляционный подход уравнения (5) представляет собой предельный случай корреляционного подхода Пирсона, обсуждавшегося в разделе 1. Как следствие, существенные недостатки корреляционного подхода Пирсона для финансового моделирования применимы также и к модели биномиальной корреляции.

Копульные корреляции

Сравнительно недавний, известный и печально известный корреляционный подход, примененный в финансах, — это метод копулы . Копулы восходят к Склару (1959). Копулы были представлены в сфере финансов Васичеком (1987). и Ли (2000).

Копулы упрощают статистические задачи. Они позволяют объединять несколько одномерных распределений в одно многомерное распределение. Формально копула-функция C преобразует n-мерную функцию на отрезке [0,1] в единичную:

$C:[0,1]^{n}\rightarrow [0,1]$ (6).

Более явно, пусть $u_{i}$ быть равномерным случайным вектором с $u_{i}=u_{1},...,u_{n},u_{i}\in [0,1]$ и $i\in N$. Тогда существует копула-функция $C$ такой, что

$C(u_{1},\ldots ,u_{n})=F[F_{1}^{-1}(u_{1}),\ldots ,F_{n}^{-1}(u_{n})]$ (7)

где F - совместная кумулятивная функция распределения и $\ F_{i}$, i = 1, ..., n _i — одномерные маргинальные распределения. $F_{i}^{-1}$ является обратным $\ F_{i}$. Если предельные распределения $F_{i}^{-1}(u_{i})$ непрерывны, то C единственен. Свойства и доказательства уравнения (11) см. в Скларе (1959) и Нельсене (2006). Существует множество типов копульных функций. В общих чертах их можно разделить на однопараметрические копулы: гауссову копулу и архимедову копулу, которые включают копулы Гамбеля, Клейтона и Фрэнка. Часто упоминаются двухпараметрические копулы — Стьюдента, Фреше и Маршалла-Олкина. Обзор этих копул см. в Nelsen (2006). В финансах копулы обычно применяются для определения коррелирующих вероятностей дефолта в портфеле. например, в обеспеченном долговом обязательстве , CDO. Впервые это сделал Ли в 2006 году. Он определил единые поля. $u_{i}$ как совокупные вероятности дефолта Q для предприятия i в фиксированный момент времени t, $Q_{i}(t)$:

$\ u_{i}=Q_{i}(t)$ (8).

Следовательно, из уравнений (7) и (8) мы получаем гауссову временную копулу по умолчанию CGD:

$C_{GD}(u_{1},\ldots ,u_{n})=M_{n,R}[N_{1}^{-1}(Q_{1}(t)),\ldots ,N_{n}^{-1}(Q_{n}(t))]$ (9).

В уравнении (9) члены $N_{i}^{-1}$ сопоставить совокупные вероятности дефолта Q актива i за время t, $Q_{i}(t)$, процентиль к процентилю к стандартному нормальному значению. Сопоставленные стандартные нормальные маргинальные распределения $N_{i}^{-1}Q_{i}(t)$ затем объединяются в одно n-вариантное распределение $M_{n,R}$ путем применения корреляционной структуры многомерного нормального распределения с корреляционной матрицей R. Вероятность n коррелированных дефолтов в момент времени t определяется выражением $M_{n,R}$.

Копулы и финансовый кризис 2007–2008 годов

Было написано множество неакадемических статей, демонизирующих подход связки и обвиняющих его в глобальном финансовом кризисе 2007/2008 годов, см., например, Salmon 2009, Джонс 2009, и Лор 2009. Есть три основных критических замечания по поводу подхода копулы: (а) зависимость от хвоста, (б) калибровка, (в) управление рисками .

(а) Хвостовая зависимость

Во время кризиса финансовые корреляции обычно усиливаются, см. исследования Даса, Даффи, Кападиа и Сайты (2007). и Даффи, Экнер, Хорел и Сайта (2009) и ссылки в нем. Следовательно, было бы желательно применить корреляционную модель с высокими совместными движениями в нижнем хвосте совместного распределения. Математически можно показать, что гауссова копула имеет относительно низкую зависимость от хвоста, как видно на следующих диаграммах рассеяния.

Рисунок 1. Диаграммы разброса различных моделей копулы.

Как видно на рисунке 1b, копула Стьюдента демонстрирует более высокую зависимость от хвоста и может лучше подходить для моделирования финансовых корреляций. Кроме того, как видно на рисунке 1(c), копула Гамбеля демонстрирует сильную зависимость от хвоста, особенно для отрицательных совместных движений. Если предположить, что корреляции увеличиваются при снижении цен на активы, копула Гамбеля также может быть хорошим корреляционным подходом для финансового моделирования.

(б) Калибровка

Еще одна критика гауссовой копулы заключается в сложности ее калибровки по рыночным ценам. На практике обычно для моделирования корреляции по умолчанию между любыми двумя объектами в обеспеченном долговом обязательстве (CDO) используется один параметр корреляции (а не матрица корреляции). Концептуально этот параметр корреляции должен быть одинаковым для всего портфеля CDO. Однако трейдеры случайным образом меняют параметр корреляции для разных траншей , чтобы получить желаемые спреды по траншам. Трейдеры увеличивают корреляцию для «экстремальных» траншей, таких как транш акций или старшие транши, что называется «улыбкой корреляции». Это похоже на часто упоминаемую улыбку подразумеваемой волатильности в модели Блэка-Шоулза-Мертона. Здесь трейдеры увеличивают подразумеваемую волатильность, особенно для пут-опционов «вне денег», а также для колл-опционов «вне денег», чтобы увеличить цену опциона. .

В рамках оптимизации среднего отклонения точная оценка матрицы дисперсии-ковариации имеет первостепенное значение. Таким образом, прогнозирование с помощью моделирования Монте-Карло с копулой Гаусса и четко заданными маргинальными распределениями является эффективным. Важно разрешить процессу моделирования учитывать эмпирические характеристики доходности акций, такие как авторегрессия, асимметричная волатильность, асимметрия и эксцесс. Игнорирование этих атрибутов приводит к серьезной ошибке оценки корреляций и дисперсий, имеющих отрицательные смещения (до 70% от истинных значений).

(в) Управление рисками

Еще одна критика подхода копулы заключается в том, что модель копулы статична и, следовательно, позволяет лишь ограниченно управлять рисками, см. Finger (2009). или Доннелли и Эмбрехтс (2010). Оригинальные модели копул Васичека (1987) и Ли (2000) и несколько расширений модели, таких как Халл и Уайт (2004). или Грегори и Лоран (2004) имеют временной горизонт в один период, т.е. являются статичными. В частности, не существует стохастического процесса для основных переменных: интенсивности дефолта и корреляции дефолта. Однако даже в этих ранних формулировках копулы бэк-тестирование и стресс-тестирование переменных для разных временных горизонтов могут дать ценную чувствительность, см. Whetten and Adelson (2004). и Мейснер, Гектор и. Расмуссен (2008). Кроме того, переменные копулы можно сделать функцией времени, как в работе Халла, Предеску и Уайта (2005). Это все еще не создает полностью динамичный стохастический процесс с дрейфом и шумом, который позволяет гибко хеджировать и управлять рисками. Лучшими решениями являются действительно динамические структуры копул, см. раздел «Динамические копулы» ниже.

Иррациональное самодовольство

До мирового финансового кризиса 2007–2008 годов многие участники рынка безоговорочно и наивно доверяли модели копулы. Однако кризис 2007–2008 годов был не столько вопросом конкретной корреляционной модели, сколько вопросом «иррационального самоуспокоения». В чрезвычайно благоприятный период с 2003 по 2006 годы надлежащее хеджирование, надлежащее управление рисками и результаты стресс-тестов по большей части игнорировались. Ярким примером является лондонская дочерняя компания AIG, которая продала кредитно-дефолтные свопы и обеспеченные долговые обязательства на сумму около 500 миллиардов долларов без проведения какого-либо серьезного хеджирования. Подробную статью о неадекватном управлении рисками, приведшую к кризису, можно найти в статье «Личный взгляд на кризис – исповедь риск-менеджера» (The Economist, 2008). В частности, если в любую модель кредитной корреляции подаются благоприятные входные данные, такие как низкая интенсивность дефолтов и низкая корреляция дефолтов, то выходные данные риска будут благоприятными, «мусор на мусоре» в терминологии моделирования.

Динамические копулы

Основным усовершенствованием моделей копул являются динамические копулы, представленные Альбанезе и др. (2005) и (2007). Подход «динамического кондиционирования» моделирует эволюцию многофакторных сверхрешеток, которые коррелируют возвратные процессы каждого объекта на каждом временном шаге. Биномиальные динамические копулы применяют комбинаторные методы, чтобы избежать моделирования Монте-Карло. Более богатые динамические гауссовы копулы используют моделирование Монте-Карло и требуют мощных компьютерных технологий.

Корреляционное моделирование условно независимого дефолта (CID)

Чтобы избежать указания корреляции по умолчанию между каждой парой объектов в портфеле, часто применяется факторизация. Это приводит к моделированию условно независимого значения по умолчанию (CID). Наиболее широко применяемой моделью CID является модель однофакторной гауссовой копулы (OFGC). Это была де-факто рыночная модель ценообразования CDO до мирового финансового кризиса 2007/2008 годов. Основное уравнение модели OFGC

$x_{i}={\sqrt {\rho }}M+{\sqrt {1-\rho }}Z_{i}$ (10)

где $M$ и $Z_{i}$ это случайные рисунки из $N(0,1)$ и $0\leq \rho \leq 1$. В результате латентная переменная $x_{i}$, иногда интерпретируемый как стоимость актива i, см. Turc, Very, Benhamou and Alvarez et al. (2005), также есть n~(0,1). Общий фактор $M$ можно интерпретировать как экономическую ситуацию, возможно, представленную возвращением индекса S&P 500. $Z_{i}$ — это своеобразный компонент, «сила» компании i, возможно, измеряемая доходностью акций компании i. Из уравнения (10) мы видим, что корреляция между объектами i моделируется косвенно путем обусловления скрытой переменной $x_{i}$ по общему множителю $M$. Например, при p =1 скрытые переменные всех сущностей $i=1,...,n,\ x_{i}=M$, поэтому $x_{i}$ идентичны в каждой симуляции. При p = 0 все скрытые переменные для всех объектов $i=1,\ldots ,n,\ x_{i}=Z_{i}$, следовательно $x_{i}$ независимы. Важно отметить, что как только мы зафиксируем значение M, значения по умолчанию для n объектов станут (условно M) взаимно независимыми.

С 2010 года OFGC является основой управления кредитным риском в Базеле II . Преимущества модели – простота и интуитивность. Одним из основных недостатков модели является то, что трейдеры при оценке CDO случайным образом меняют параметр корреляции для разных траншей CDO для достижения желаемых спредов по траншам. Однако концептуально параметр корреляции должен быть одинаковым для всего портфеля.

Моделирование заражения по умолчанию

Моделирование заражения по умолчанию можно рассматривать как вариант моделирования CID. Как обсуждалось в разделе 2.3, в рамках CID корреляция моделируется путем обусловления общим рыночным фактором M, который влияет на все предприятия в одинаковой степени. Чем ниже случайный рисунок для M, тем выше интенсивность всех объектов по умолчанию (если ρ = 0). Следовательно, моделирование CID может объяснить кластеризацию по умолчанию. Напротив, подходы «заражения» моделируют интенсивность дефолта одной организации как функцию дефолта другой организации. Таким образом, моделирование цепного дефолта включает в себя риск контрагента, т.е. прямое влияние предприятия, не выполняющего свои обязательства, на интенсивность дефолта другого предприятия. В частности, после дефолта конкретного предприятия интенсивность дефолта всех активов портфеля возрастает. Затем это заражение по умолчанию обычно снижается в геометрической прогрессии до незаразных уровней интенсивности по умолчанию. См. статьи Дэвиса и Ло (2001). и Джарроу и Ю (2001), который был пионером в моделировании заражения по умолчанию.

Корреляционные подходы «сверху вниз»

В рамках моделирования кредитной корреляции довольно новым корреляционным подходом является нисходящее моделирование. Здесь эволюция распределения интенсивности портфеля выводится напрямую, т.е. абстрагируясь от дефолтной интенсивности отдельных предприятий. Модели «сверху вниз» обычно применяются на практике, если:

• Интенсивности отдельных объектов по умолчанию недоступны или ненадежны.
• Яркости отдельных объектов по умолчанию не нужны. Это может иметь место при оценке однородного портфеля, такого как индекс однородных предприятий.
• Огромный размер портфеля делает проблематичным моделирование индивидуальной интенсивности дефолта.

Модели «сверху вниз», как правило, более экономичны, эффективны в вычислительном отношении и зачастую лучше калибруются по рыночным ценам, чем модели «снизу вверх». Хотя кажущаяся важная информация, такая как интенсивность по умолчанию для отдельных объектов, игнорируется, нисходящая модель обычно лучше отражает такие свойства портфеля, как волатильность или корреляция. Кроме того, информацию по умолчанию для отдельных объектов часто можно получить с помощью методов случайного прореживания, см. Giesecke, Goldberg and Ding (2007). для получения подробной информации.

В рамках нисходящей структуры Шёнбухер (2006) создает неоднородную во времени марковскую цепь переходных скоростей. Корреляция дефолта возникает из-за изменений волатильности переходных ставок. Для определенных групп параметров более высокая волатильность означает более быстрый переход к более низким состояниям по умолчанию и, как следствие, подразумевает более высокую корреляцию по умолчанию, и наоборот. Аналогично, Херд и Кузнецов (2006а) и (2006б) вызвать корреляцию случайным изменением скорости времени. Более высокая скорость времени означает более быстрый переход в более низкое состояние, возможно, по умолчанию, и в результате увеличивает корреляцию по умолчанию, и наоборот. Сравнительный анализ корреляционных подходов в финансах см. в Albanese, Li, Lobachevsky and Meissner (2010).