Среднепериодическая функция

В математическом анализе понятие среднепериодической функции представляет собой обобщение, введенное в 1935 году Жаном Дельсартом. ^[1]^[2] понятия периодической функции . Дальнейшие результаты были получены Лораном Шварцем и Дж. П. Кахане. ^[3]^[4]

Определение

Рассмотрим непрерывную комплексную -значную функцию $f$ переменной действительной . Функция $f$ является периодической с периодом $a$ точно в том случае, если для всех вещественных $x$ имеем $f (x) - f (x - a) = 0$ . Это можно записать как

\int f(x-t)\,d\mu (t)=0\qquad \qquad (1)

где $\mu$ - это разница между мерами Дирака в точках 0 и a . Функция $f$ называется периодической в среднем, если она удовлетворяет тому же уравнению (1), но где $\mu$ — некоторая произвольная ненулевая мера с компактным (следовательно, ограниченным) носителем.

Уравнение (1) можно интерпретировать как свертку , так что среднепериодическая функция — это функция $f$ , для которой существует борелевская мера с компактным носителем (со знаком). $\mu$ для чего $f*\mu =0$ . ^[4]

Существует несколько известных эквивалентных определений. ^[2]

Связь с почти периодическими функциями

Среднепериодические функции представляют собой отдельное обобщение периодических функций от почти периодических функций . Например, показательные функции являются среднепериодическими, поскольку $exp(x +1) - e .exp(x) = 0$ , но они не являются почти периодическими, поскольку они неограничены. Тем не менее, существует теорема, утверждающая, что любая равномерно непрерывная ограниченная в среднем периодическая функция почти периодична (в смысле Бора). В другом направлении существуют почти периодические функции, не являющиеся среднепериодическими. ^[2]

Некоторые основные свойства

Если f — средняя периодическая функция, то это предел некоторой последовательности экспоненциальных многочленов, которые представляют собой конечные линейные комбинации термина t^^n exp(at), где n — любое неотрицательное целое число, а — любое комплексное число; также Df является средней периодической функцией (т.е. средней периодической), и если h является экспоненциальным многочленом, то поточечное произведение f и h является средним периодическим).

Если f и g являются периодическими в среднем, то f + g и усеченный продукт свертки f и g являются периодическими в среднем. Однако поточечное произведение f и g не обязательно должно быть периодическим в среднем.

Если L(D) — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами и L(D)f = g, то f является периодическим в среднем тогда и только тогда, когда g является периодическим в среднем.

Для линейных дифференциально-разностных уравнений, таких как Df(t) - af(t - b) = g, где a — любое комплексное число, а b — положительное действительное число, тогда f является средним периодическим тогда и только тогда, когда g является средним периодическим. ^[5]

Приложения

В работе, связанной с соответствием Ленглендса , было высказано предположение, что средняя периодичность некоторых (связанных с) дзета-функций, связанных с арифметической схемой, соответствует автоморфности соответствующей L-функции. ^[6] Существует определенный класс среднепериодических функций, вытекающих из теории чисел.

См. также

　почти периодические функции

Ссылки

^ Дельсарт, Жан (1935). «Средне-периодические функции». Журнал чистой и прикладной математики . 17 : 403–453.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Кахане, Ж.-П. (1959). Лекции по средним периодическим функциям (PDF) . Институт фундаментальных исследований Тата, Бомбей.
^ Мальгранж, Бернар (1954). «Средне-периодические функции (по Ж.-П. Кахане)» (PDF) . Семинар Бурбаки (97): 425–437.
^ Jump up to: ^а ^б Шварц, Лоран (1947). «Общая теория среднепериодических функций» (PDF) . Энн. математики . 48 (2): 857–929. дои : 10.2307/1969386 . JSTOR 1969386 .
^ Лэрд, П.Г. (1972). «Некоторые свойства средних периодических функций» . Журнал Австралийского математического общества . 14 (4): 424–432. дои : 10.1017/s1446788700011058 . ISSN 0004-9735 .
^ Фесенко И. ; Рикотта, Г.; Сузуки, М. (2012). «Средняя периодичность и дзета-функции» . Анналы Института Фурье . 62 (5): 1819–1887. arXiv : 0803.2821 . дои : 10.5802/aif.2737 .

[1] Дельсарт, Жан (1935). «Средне-периодические функции». Журнал чистой и прикладной математики . 17 : 403–453.

[Kahane59-2] Jump up to: ^а ^б ^с Кахане, Ж.-П. (1959). Лекции по средним периодическим функциям (PDF) . Институт фундаментальных исследований Тата, Бомбей.

[3] Мальгранж, Бернар (1954). «Средне-периодические функции (по Ж.-П. Кахане)» (PDF) . Семинар Бурбаки (97): 425–437.

[Schwartz47-4] Jump up to: ^а ^б Шварц, Лоран (1947). «Общая теория среднепериодических функций» (PDF) . Энн. математики . 48 (2): 857–929. дои : 10.2307/1969386 . JSTOR 1969386 .

[5] Лэрд, П.Г. (1972). «Некоторые свойства средних периодических функций» . Журнал Австралийского математического общества . 14 (4): 424–432. дои : 10.1017/s1446788700011058 . ISSN 0004-9735 .

[6] Фесенко И. ; Рикотта, Г.; Сузуки, М. (2012). «Средняя периодичность и дзета-функции» . Анналы Института Фурье . 62 (5): 1819–1887. arXiv : 0803.2821 . дои : 10.5802/aif.2737 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]