Аксиома пустого множества
В аксиоматической теории множеств используется аксиома пустого множества . [1] [2] также называется аксиомой нулевого множества [3] и аксиома существования , [4] [5] это утверждение, которое утверждает существование множества без элементов. [3] Это аксиома теории множеств Крипке-Платека и варианта общей теории множеств , который Берджесс (2005) называет «ST», а также доказуемая истина в теории множеств Цермело и теории множеств Цермело-Френкеля , с аксиомой выбора или без нее . [6]
Официальное заявление
[ редактировать ]На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:
Или, альтернативно, . [7]
Словами:
- Существует множество , в которое не входит ни один элемент.
Интерпретация
[ редактировать ] |
Мы можем использовать аксиому экстенсиональности , чтобы показать, что существует только одно пустое множество. Поскольку он уникален, мы можем дать ему имя. Его называют пустым множеством (обозначается { } или ∅). Аксиома, сформулированная на естественном языке, по сути такова:
- Пустое множество существует .
Эта формула является теоремой и считается верной во всех версиях теории множеств. Единственный спор идет о том, как это следует оправдать: сделав аксиомой; выводя его из аксиомы существования множества (или логики) и аксиомы разделения; выведя его из аксиомы бесконечности; или какой-то другой метод.
В некоторых формулировках ZF аксиома пустого множества фактически повторяется в аксиоме бесконечности . Однако существуют и другие формулировки этой аксиомы, не предполагающие существования пустого множества. Аксиомы ZF также можно записать, используя постоянный символ, обозначающий пустое множество; тогда аксиома бесконечности использует этот символ, не требуя, чтобы он был пустым, тогда как аксиома пустого множества необходима для того, чтобы утверждать, что оно на самом деле пусто.
Более того, иногда рассматриваются теории множеств, в которых нет бесконечных множеств, и тогда все еще может потребоваться аксиома пустого множества. Однако любая аксиома теории множеств или логики, подразумевающая существование любого множества, будет подразумевать существование пустого множества, если имеется схема аксиом разделения . Это верно, поскольку пустое множество является подмножеством любого множества, состоящего из тех элементов, которые удовлетворяют противоречивой формуле.
Во многих формулировках логики предикатов первого порядка всегда гарантируется существование хотя бы одного объекта. Если аксиоматизация теории множеств сформулирована в такой логической системе со схемой аксиом разделения в качестве аксиом и если теория не делает различия между множествами и другими видами объектов (что справедливо для ZF, КП и подобных теорий), то существование пустого множества является теоремой.
Если разделение не постулируется как схема аксиом, а выводится в виде схемы теоремы из схемы замены (как это иногда делается), то ситуация усложняется и зависит от точной формулировки схемы замены. Формулировка, используемая в схеме аксиом статьи о замене, позволяет построить образ F [ a ] только тогда, когда a содержится в области определения функции класса F ; тогда для вывода разделения требуется аксиома пустого множества. С другой стороны, ограничение целостности F часто исключается из схемы замены, и в этом случае оно подразумевает схему разделения без использования аксиомы пустого множества (или любой другой аксиомы, если уж на то пошло).
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Каннингем, Дэниел В. (2016). Теория множеств: первый курс . Кембриджские учебники математики. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 24. ISBN 978-1-107-12032-7 .
- ^ Перейти обратно: а б «Теория множеств | Интернет-энциклопедия философии» . Проверено 10 июня 2024 г.
- ^ Перейти обратно: а б Багария, Джоан (2023), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Теория множеств» , Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весна 2023 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 10 июня 2024 г.
- ^ Хрбачек, Карел; Джек, Томас Дж. (1999). Введение в теорию множеств . Чистая и прикладная математика (3-е изд., перераб. и расширенное, [Отв.] изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 7. ISBN 978-0-8247-7915-3 .
- ^ Перейти обратно: а б «Аксиоматическая теория множеств» . www.cs.yale.edu . Проверено 10 июня 2024 г.
- ^ Джек, Томас Дж. (2003). Теория множеств (Изд. 3-го тысячелетия, перераб. и расширенное изд.). Берлин: Шпрингер. п. 3. ISBN 3-540-44085-2 . OCLC 50422939 .
- ^ «Теория множеств > Теория множеств Цермело-Френкеля (ZF) (Стэнфордская энциклопедия философии)» . plato.stanford.edu . Проверено 10 июня 2024 г.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Берджесс, Джон, 2005. Исправление Фреге . Принстонский университет. Нажимать.
- Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
- Джех, Томас , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .
- Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .