Лемма Стечкина

В математике , а точнее в функциональном и численном анализе , лемма Стечкина представляет собой результат о ℓ ^д норма хвоста последовательности , когда известно, что вся последовательность имеет конечную ℓ ^п норма. Здесь термин «хвост» означает те члены последовательности, которые не входят в число N крупнейших членов для произвольного числа N. натурального Лемма Стечкина часто бывает полезна при анализе наилучших N -членных приближений функций в заданном базисе функционального пространства . Первоначально результат был доказан Стечкиным в случае $q=2$.

Утверждение леммы

Позволять $0<p<q<\infty$ и пусть $I$ быть счетным множеством индексов . Позволять $(a_{i})_{i\in I}$ быть любой последовательностью, индексированной $I$и для $N\in \mathbb {N}$ позволять $I_{N}\subset I$ быть индексами $N$ наибольшие члены последовательности $(a_{i})_{i\in I}$ в абсолютном значении . Затем

$\left(\sum _{i\in I\setminus I_{N}}|a_{i}|^{q}\right)^{1/q}\leq \left(\sum _{i\in I}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}{\frac {1}{N^{r}}}$

где

$r={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}>0$.

Таким образом, лемма Стечкина управляет ℓ ^д норма хвоста последовательности $(a_{i})_{i\in I}$ (и, следовательно, ℓ ^д норма разности между последовательностью и ее аппроксимацией с помощью ее $N$ наибольшие условия) в терминах ℓ ^п норма полной последовательности и скорость распада.

Доказательство леммы

Влог мы предполагаем, что последовательность $(a_{i})_{i\in I}$ сортируется по $|a_{i+1}|\leq |a_{i}|,i\in I$ и мы установили $I=\mathbb {N}$ для обозначения.

Сначала переформулируем утверждение леммы так:

$\left({\frac {1}{N}}\sum _{i\in I\setminus I_{N}}|a_{i}|^{q}\right)^{1/q}\leq \left({\frac {1}{N}}\sum _{j\in I}|a_{j}|^{p}\right)^{1/p}.$

Теперь мы замечаем, что для $d\in \mathbb {N}$

$|a_{i}|\leq |a_{dN}|,\quad {\text{for}}\quad i=dN+1,\dots ,(d+1)N;$

$|a_{dN}|\leq |a_{j}|,\quad {\text{for}}\quad j=(d-1)N+1,\dots ,dN;$

Используя это, мы можем оценить

$\left({\frac {1}{N}}\sum _{i\in I\setminus I_{N}}|a_{i}|^{q}\right)^{1/q}\leq \left({\frac {1}{N}}\sum _{d\in \mathbb {N} }N|a_{dN}|^{q}\right)^{1/q}=\left(\sum _{d\in \mathbb {N} }|a_{dN}|^{q}\right)^{1/q}$

а также

$\left(\sum _{d\in \mathbb {N} }|a_{dN}|^{p}\right)^{1/p}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{d\in \mathbb {N} }N|a_{dN}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{N}}\sum _{i\in I\setminus I_{N}}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}.$

Кроме того, мы получаем ℓ ^п норма эквивалентности:

$\left(\sum _{d\in \mathbb {N} }|a_{dN}|^{q}\right)^{1/q}\leq \left(\sum _{d\in \mathbb {N} }|a_{dN}|^{p}\right)^{1/p}.$

Соединение всех этих ингредиентов завершает доказательство.

Ссылки

• Шнайдер, Рейнхольд; Ушмаев, Андре (2014). «Скорости аппроксимации иерархического тензорного формата в периодических пространствах Соболева». Журнал сложности . 30 (2): 56–71. CiteSeerX   10.1.1.690.6952 . дои : 10.1016/j.jco.2013.10.001 . ISSN   0885-064X . См. раздел 2.1 и сноску 5.