Энтропия (астрофизика)

В астрофизике то, что называется « энтропией », на самом деле является адиабатической константой, полученной следующим образом.

Использование первого закона термодинамики для квазистатического , бесконечно малого процесса для гидростатической системы.

$dQ=dU-dW.$

Для идеального газа в этом особом случае внутренняя энергия U является функцией только температуры Т ; следовательно, частная производная теплоемкости по T тождественна полной производной, что достигается за счет некоторых манипуляций

$dQ=C_{\text{v}}dT+P\,dV.$

Дальнейшие манипуляции с использованием дифференциальной версии закона идеального газа , предыдущего уравнения и предположения постоянного давления позволяют найти

$dQ=C_{\text{p}}dT-V\,dP.$

Для адиабатического процесса $dQ=0\,$ и вспоминая $\gamma ={C_{\text{p}}}/{C_{\text{v}}}\,$, можно найти

${\frac {V\,dP=C_{\text{p}}dT}{P\,dV=-C_{\text{v}}dT}}$

${\frac {dP}{P}}=-{\frac {dV}{V}}\gamma .$

Решив это простое дифференциальное уравнение, можно найти

$PV^{\gamma }={\text{constant}}=K$

Это уравнение известно как выражение адиабатической постоянной K, также называемой адиабатой. Из уравнения идеального газа также известно

$P={\frac {\rho k_{\text{B}}T}{\mu m_{\text{H}}}},$

где $k_{\text{B}}$ — постоянная Больцмана . Подставив это в приведенное выше уравнение вместе с $V=[\mathrm {g} ]/\rho \,$ и $\gamma =5/3\,$ для идеального одноатомного газа находится

$K={\frac {k_{\text{B}}T}{(\rho /\mu m_{\text{H}})^{2/3}}},$

где $\mu \,$ – средняя молекулярная масса газа или плазмы ; и $m_{\text{H}}$ — масса атома водорода , чрезвычайно близкая к массе протона , $m_{p}$, величина, чаще используемая в астрофизической теории скоплений галактик . Это то, что астрофизики называют «энтропией», и имеет единицы измерения [кэВ⋅см]. ² ]. Эта величина относится к термодинамической энтропии как

$\Delta S=3/2\ln K.$