Разреженная идентификация нелинейной динамики

Разреженная идентификация нелинейной динамики ( SINDy ) — это управляемый данными алгоритм для получения динамических систем из данных. Учитывая серию снимков динамической системы и ее соответствующих производных по времени , SINDy выполняет регрессию , способствующую разреженности (например, LASSO ), для библиотеки нелинейных кандидатов функций- снимков по сравнению с производными, чтобы найти основные уравнения . Эта процедура основана на предположении, что большинство физических систем имеют только несколько доминирующих условий , которые определяют динамику, при условии правильно выбранной системы координат и качественных обучающих данных . Он применялся для идентификации динамики жидкостей на основе правильного ортогонального разложения , а также других сложных динамических систем, таких как биологические сети.

Математический обзор

Сначала рассмотрим динамическую систему вида

$${\dot {\textbf {x}}}={\frac {d}{dt}}{\textbf {x}}(t)={\textbf {f}}({\textbf {x}}(t)),$$

где ${\textbf {x}}(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ вектор состояния (снимок) системы в момент времени $t$ и функция ${\textbf {f}}({\textbf {x}}(t))$ определяет уравнения движения и ограничения системы. Производная по времени может быть либо задана, либо численно аппроксимирована на основе снимков.

С ${\textbf {x}}$ и ${\dot {\textbf {x}}}$ отобрано в $m$ равноотстоящие моменты времени ( $t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}$), их можно упорядочить в матрицы вида

$${\bf {{X}={\begin{bmatrix}{\bf {{x}^{T}(t_{1})}}\\{\bf {{x}^{T}(t_{2})}}\\\vdots \\{\bf {{x}^{T}(t_{m})}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{1}(t_{1})&x_{2}(t_{1})&\cdots &x_{n}(t_{1})\\x_{1}(t_{2})&x_{2}(t_{2})&\cdots &x_{n}(t_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}(t_{m})&x_{2}(t_{m})&\cdots &x_{n}(t_{m})\end{bmatrix}},}}$$

и аналогично для ${\dot {\textbf {X}}}$.

Далее библиотека ${\bf {{\Theta }({\textbf {X}})}}$ нелинейных функций-кандидатов столбцов ${\textbf {X}}$ строится, которая может быть постоянной, полиномиальной или более экзотической функцией (например, тригонометрическими, рациональными членами и т. д.):

$$\ \ \ {\bf {{\Theta }({\bf {{X})={\begin{bmatrix}\vline &\vline &\vline &\vline &&\vline &\vline &\\1&{\bf {X}}&{\bf {{X}^{2}}}&{\bf {{X}^{3}}}&\cdots &\sin({\bf {{X})}}&\cos({\bf {{X})}}&\cdots \\\vline &\vline &\vline &\vline &&\vline &\vline &\end{bmatrix}}}}}}$$

Количество возможных модельных структур из этой библиотеки комбинаторно велико. ${\textbf {f}}({\textbf {x}}(t))$ затем заменяется на ${\bf {{\Theta }({\textbf {X}})}}$ и вектор коэффициентов ${\bf {{\Xi }=\left[{\bf {{\xi }_{1}{\bf {{\xi }_{2}\cdots {\bf {{\xi }_{n}}}}}}}\right]}}$ определение активных условий в ${\textbf {f}}({\textbf {x}}(t))$:

$${\dot {\bf {X}}}={\bf {{\Theta }({\bf {{X}){\bf {\Xi }}}}}}$$

Поскольку ожидается, что в каждый момент времени активными будут только несколько терминов, делается предположение, что ${\textbf {f}}({\textbf {x}}(t))$ допускает разреженное представление в ${\bf {{\Theta }({\textbf {X}})}}$. Тогда это становится проблемой оптимизации при поиске разреженного ${\bf {\Xi }}$ который оптимально встраивает ${\dot {\textbf {X}}}$. Другими словами, экономная модель получается путем выполнения регрессии наименьших квадратов в системе (4) с повышением разреженности ( $L_{1}$) регуляризация

$${\bf {{\xi }_{k}={\underset {\bf {{\xi }'_{k}}}{\arg \min }}\left|\left|{\dot {\bf {X}}}_{k}-{\bf {{\Theta }({\bf {{X}){\bf {{\xi }'_{k}}}}}}}\right|\right|_{2}+\lambda \left|\left|{\bf {{\xi }'_{k}}}\right|\right|_{1},}}$$

где $\lambda$ является параметром регуляризации. Наконец, скудный набор ${\bf {{\xi }_{k}}}$ можно использовать для реконструкции динамической системы:

$${\dot {x}}_{k}={\bf {{\Theta }({\bf {{x}){\bf {{\xi }_{k}}}}}}}$$