Положительный ток

В математике, особенно в сложной геометрии , алгебраическая геометрия и комплексный анализ , положительное течение является положительной ( np , np )-формой над n -мерным комплексным многообразием , принятие значений в распределениях.

Для формального определения рассмотрим многообразие M . Токи на M равны (по определению) дифференциальные формы с коэффициентами в распределениях ; интеграция над M мы можем рассматривать токи как «токи интегрирования», то есть функционалы

$\eta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \rho$

на гладких формах с компактной опорой. Таким образом, токи рассматриваются как элементы в двойственном пространстве к пространству $\Lambda _{c}^{*}(M)$ форм с компактной поддержкой.

Теперь пусть M — комплексное многообразие. Ходжа Разложение $\Lambda ^{i}(M)=\bigoplus _{p+q=i}\Lambda ^{p,q}(M)$ определяется на токах естественным образом, причем (p,q) -токи равны функционалы на $\Lambda _{c}^{p,q}(M)$.

Положительный ток определяется как реальный ток. типа Ходжа (p,p) , принимающий неотрицательные значения на всех положительных (p,p) -формах.

Характеризация кэлеровых многообразий

Используя теорему Хана–Банаха , Харви и Лоусон доказали следующий критерий существования кэлеровой метрики .

Теорема: Пусть M — компактное комплексное многообразие. Тогда M не допускает кэлеровой структуры тогда и только тогда, когда M допускает ненулевой положительный (1,1)-ток $\Theta$ который является (1,1)-частью точного 2-тока.

Обратите внимание, что дифференциал де Рама отображает 3-токи в 2-токи, следовательно $\Theta$ – дифференциал 3-тока; если $\Theta$ — ток интегрирования комплексной кривой , это означает, что эта кривая является (1,1)-частью границы.

Когда M допускает сюръективное отображение $\pi :\;M\mapsto X$ к кэлерову многообразию с одномерными слоями эта теорема приводит к следующему результату комплексной алгебраической геометрии.

Следствие: этой ситуации M некэлерово в тогда и только тогда, когда класс гомологии типичного слоя $\pi$ является (1,1)-частью границы.

Ссылки

• П. Гриффитс и Дж. Харрис (1978), Принципы алгебраической геометрии , Wiley. ISBN   0-471-32792-1
• Ж.-П. Демайи , Теоремы об исчезновении $L^2$ для положительных линейных расслоений и теории присоединений, Конспекты лекций курса CIME «Трансцендентные методы алгебраической геометрии» (Четраро, Италия, июль 1994 г.)