Снижение точности (навигация)

Понижение точности ( DOP ) или геометрическое снижение точности ( GDOP ) — это термин, используемый в спутниковой навигации и геоматике для обозначения распространения ошибок как математического влияния геометрии навигационного спутника на точность позиционных измерений.

Плохой DOP против хорошего DOP

Навигационные спутники с плохой геометрией.

Навигационные спутники с хорошей геометрией.

Введение

Концепция снижения точности (DOP) возникла у пользователей навигационной системы Loran-C . ^[1] Идея геометрического DOP состоит в том, чтобы указать, как ошибки измерения повлияют на окончательную оценку состояния. Это можно определить как: ^[2]

\operatorname {GDOP} ={\frac {\Delta ({\text{output location}})}{\Delta ({\text{measured data}})}}

Концептуально вы можете геометрически представить ошибки измерения, приводящие к $\Delta ({\text{measured data}})$ срок меняется. В идеале небольшие изменения в измеренных данных не приведут к большим изменениям в местоположении выходного сигнала. Противоположностью этому идеалу является ситуация, когда решение очень чувствительно к ошибкам измерения. Интерпретация этой формулы показана на рисунке справа, где показаны два возможных сценария с приемлемым и плохим ВВП.

С широким внедрением спутниковых навигационных систем этот термин стал использоваться гораздо шире. Пренебрежение ионосферой ^[3] и тропосфера ^[4] Эффекты, сигнал от навигационных спутников имеет фиксированную точность. Следовательно, относительная геометрия спутника-приемника играет важную роль в определении точности оценок местоположения и времени. Из-за относительной геометрии любого спутника по отношению к приемнику точность псевдодальности спутника преобразуется в соответствующую составляющую в каждом из четырех измерений положения, измеренного приемником (т. е. $x$ , $y$ , $z$ , и $t$ ). Точность нескольких спутников с точки зрения приемника объединяется в соответствии с относительным положением спутников, чтобы определить уровень точности в каждом измерении приемника. Когда видимые навигационные спутники расположены близко друг к другу в небе, геометрия считается слабой, а значение DOP высоким; когда они находятся далеко друг от друга, геометрия прочная, а значение DOP низкое. Рассмотрим два перекрывающихся кольца или кольца с разными центрами. Если они перекрываются под прямым углом, наибольшая степень перекрытия намного меньше, чем если бы они перекрывались почти параллельно. Таким образом, низкое значение DOP означает более высокую точность позиционирования из-за более широкого углового разноса между спутниками, используемыми для расчета положения объекта. Другими факторами, которые могут увеличить эффективный DOP, являются препятствия, такие как близлежащие горы или здания.

DOP можно выразить как ряд отдельных измерений:

HDOP: Горизонтальное снижение точности
ВДОП: Вертикальное снижение точности
ПДОП: Позиционное (3D) снижение точности
TDOP: Снижение точности во времени
GDPP: Геометрическое снижение точности

Эти значения математически следуют из положений используемых спутников. Приемники сигналов позволяют отображать эти позиции ( skyplot ), а также значения DOP.

Этот термин также можно применять к другим системам определения местоположения, которые используют несколько географически разнесенных объектов. Может возникнуть в средствах радиоэлектронного противодействия ( РЭБ ) при вычислении местоположения излучателей противника ( постановщиков радиолокационных помех и устройств радиосвязи). Использование такого метода интерферометрии может обеспечить определенную геометрическую компоновку, в которой существуют степени свободы, которые невозможно учесть из-за неадекватных конфигураций.

Влияние геометрии спутников на ошибку местоположения называется геометрическим снижением точности (GDOP) и грубо интерпретируется как отношение ошибки местоположения к ошибке дальности. Представьте себе, что квадратная пирамида образована линиями, соединяющими четыре спутника с приемником на вершине пирамиды. Чем больше объем пирамиды, тем лучше (ниже) значение GDOP; чем меньше его объем, тем хуже (выше) будет значение GDOP. Аналогично, чем больше спутников, тем выше значение GDOP.

Интерпретация

Значение ДОП	Рейтинг ^[5]	Описание
< 1	Идеально	Максимально возможный уровень достоверности для использования в приложениях, требующих всегда максимально возможную точность.
1–2	Отличный	На этом уровне достоверности позиционные измерения считаются достаточно точными, чтобы соответствовать всем приложениям, кроме самых чувствительных.
2–5	Хороший	Представляет собой уровень, обозначающий минимум, необходимый для принятия точных решений. Позиционные измерения могут использоваться для предоставления пользователю надежных навигационных рекомендаций по маршруту.
5–10	Умеренный	Позиционные измерения можно использовать для расчетов, но качество фиксации все равно можно улучшить. Рекомендуется более открытый обзор неба.
10–20	Справедливый	Представляет низкий уровень достоверности. Позиционные измерения следует отбросить или использовать только для указания очень грубой оценки текущего местоположения.
> 20	Бедный	На этом уровне измерения следует отбросить.

Коэффициенты DOP являются функциями диагональных элементов ковариационной матрицы параметров, выраженных либо в глобальной, либо в локальной геодезической системе координат.

Вычисление

В качестве первого шага в вычислении DOP, ^[5] рассмотрим единичные векторы от приемника до спутника $i$ :

{\begin{aligned}&\left({\frac {x_{i}-x}{R_{i}}},{\frac {y_{i}-y}{R_{i}}},{\frac {z_{i}-z}{R_{i}}}\right),&R_{i}&={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}\end{aligned}}

где $x,y,z$ обозначают положение приемника и $x_{i},y_{i},z_{i}$ обозначают положение спутника i. Сформулируйте матрицу A, которая (для 4 остаточных уравнений измерения псевдодальности) имеет вид:

A={\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}-x}{R_{1}}}&{\frac {y_{1}-y}{R_{1}}}&{\frac {z_{1}-z}{R_{1}}}&1\\{\frac {x_{2}-x}{R_{2}}}&{\frac {y_{2}-y}{R_{2}}}&{\frac {z_{2}-z}{R_{2}}}&1\\{\frac {x_{3}-x}{R_{3}}}&{\frac {y_{3}-y}{R_{3}}}&{\frac {z_{3}-z}{R_{3}}}&1\\{\frac {x_{4}-x}{R_{4}}}&{\frac {y_{4}-y}{R_{4}}}&{\frac {z_{4}-z}{R_{4}}}&1\end{bmatrix}}

Первые три элемента каждой строки A являются компонентами единичного вектора от приемника до указанного спутника. Последний элемент каждой строки относится к частной производной псевдодальности относительно смещения тактового сигнала приемника. Сформулируйте матрицу Q как ковариационную матрицу, полученную из нормальной матрицы наименьших квадратов :

Q=\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}

В общем:

Q=\left(J_{\mathsf {x}}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}J_{x}\right)^{-1}

где $J_{x}$ – якобиан остаточных уравнений измерения датчика. $f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)=0$ , что касается неизвестных, ${\underline {x}}$ ; $J_{d}$ – якобиан уравнений невязки измерений датчика относительно измеряемых величин. ${\underline {d}}$ , и $C_{d}$ – корреляционная матрица шума в измеряемых величинах.

Для предыдущего случая с четырьмя остаточными уравнениями измерения дальности: ${\underline {x}}=(x,y,z,\tau )^{\mathsf {T}}$ , ${\underline {d}}=\left(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4}\right)^{\mathsf {T}}$ , $\tau =ct$ , $\tau _{i}=ct_{i}$ , $R_{i}=|\tau _{i}-\tau |={\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}$ , $f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}-{\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}$ , $J_{x}=A$ , $J_{d}=-I$ и шумы измерений для различных $\tau _{i}$ считались независимыми, что делает $C_{d}=I$ .

Эта формула для Q возникает в результате применения наилучшей линейной несмещенной оценки к линеаризованной версии остаточных уравнений измерения датчика относительно текущего решения. $\Delta {\underline {x}}=-Q*\left(J_{x}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}f\right)$ , за исключением СИНЕГО $C_{d}$ представляет собой ковариационную матрицу шума, а не матрицу корреляции шума, используемую в DOP, и причина, по которой DOP делает эту замену, заключается в получении относительной ошибки. Когда $C_{d}$ представляет собой ковариационную матрицу шума, $Q$ представляет собой оценку матрицы ковариации шума неизвестных, обусловленного шумом измеряемых величин. Это оценка, полученная с помощью метода количественной оценки неопределенности второго момента первого порядка (FOSM), который был современным в 1980-х годах. Чтобы теория FOSM была строго применима, либо распределения входного шума должны быть гауссовскими, либо стандартные отклонения шума измерения должны быть небольшими по сравнению со скоростью изменения выходного сигнала вблизи решения. В этом контексте обычно удовлетворяется второй критерий.

Это вычисление (т.е. для 4-х уравнений остатка измерения времени прибытия/дальномерности) соответствует [6], где весовая матрица $P=\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}$ происходит упрощение до единичной матрицы.

Обратите внимание, что P упрощается только до единичной матрицы, поскольку все остаточные уравнения измерений датчика представляют собой уравнения времени прибытия (псевдодиапазона). В других случаях, например, при попытке обнаружить кого-либо, вещающего на международной частоте бедствия , $P$ будет не упрощаться до единичной матрицы, и в этом случае будет присутствовать компонент «частотный DOP» или FDOP либо в дополнение к компоненту TDOP, либо вместо него. (Относительно «вместо компонента TDOP»: поскольку часы на устаревших спутниках LEO Международной программы Коспас-Сарсат гораздо менее точны, чем часы GPS, отказ от их измерений времени фактически повысит точность решения геолокации.)

Элементы $Q$ обозначаются как:

Q={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}&\sigma _{xt}\\\sigma _{xy}&\sigma _{y}^{2}&\sigma _{yz}&\sigma _{yt}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{z}^{2}&\sigma _{zt}\\\sigma _{xt}&\sigma _{yt}&\sigma _{zt}&\sigma _{t}^{2}\end{bmatrix}}

PDOP, TDOP и GDOP определяются как: ^[6]

{\begin{aligned}\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}}}\\\operatorname {TDOP} &={\sqrt {\sigma _{t}^{2}}}\\\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {PDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {tr} Q}}\\\end{aligned}}

Обратите внимание, что GDOP — это квадратный корень следа из $Q$ матрица.

Горизонтальное и вертикальное снижение точности,

{\begin{aligned}\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\sigma _{n}^{2}+\sigma _{e}^{2}}}\\\operatorname {VDOP} &={\sqrt {\sigma _{u}^{2}}}\end{aligned}}

,

оба зависят от используемой системы координат. Чтобы соответствовать местной системе координат восток-север-верх ,

EDOP^2   x      x      x
 x     NDOP^2   x      x
 x       x    VDOP^2   x
 x       x      x    TDOP^2

и полученные разведения:

{\begin{aligned}\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}}}\\\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}}}\end{aligned}}

См. также

Ссылки

^ Ричард Б. Лэнгли (май 1999 г.). «Снижение точности» (PDF) . GPS мир . Архивировано (PDF) из оригинала 4 октября 2011 г. Проверено 12 октября 2011 г.
^ Дудек, Грегори ; Дженкин, Майкл (2000). Вычислительные принципы мобильной робототехники . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-56876-5 .
^ Пол Кинтнер, Корнелльский университет; Тодд Хамфрис; Техасский университет в Остине; Джоанна Хинкс; Корнельский университет (июль – август 2009 г.). «ГНСС и ионосферное мерцание: как пережить следующий солнечный максимум» . Внутри ГНСС . Архивировано из оригинала 6 ноября 2011 г. Проверено 12 октября 2011 г.
^ «Ошибки GPS (учебное пособие Trimble)» . Архивировано из оригинала 07 марта 2016 г. Проверено 8 февраля 2016 г.
^ Jump up to: ^а ^б Исик, Август Каган; Хон, Джухён; Петрунин Иван; Цурдос, Антониос (25 августа 2020 г.). «Анализ целостности системы GPS-навигации БПЛА в городской среде» . Робототехника . 9 (3): 66. doi : 10.3390/robotics9030066 .
^ Раздел 1.4.9 Принципов спутникового позиционирования .

Дальнейшее чтение

Статья о DOP и программе Trimble: Определение влияния геометрии местного GPS-спутника на точность местоположения .
Примечания и изображение в формате GIF о ручном расчете GDOP: Geographer's Craft
Ошибки GPS и оценка точности вашего приемника: веб-страница Сэма Уормли о точности GPS
Точность, ошибки и точность GPS: Radio-Electronics.com. Архивировано 22 февраля 2014 г. на Wayback Machine.

[1] Ричард Б. Лэнгли (май 1999 г.). «Снижение точности» (PDF) . GPS мир . Архивировано (PDF) из оригинала 4 октября 2011 г. Проверено 12 октября 2011 г.

[2] Дудек, Грегори ; Дженкин, Майкл (2000). Вычислительные принципы мобильной робототехники . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-56876-5 .

[3] Пол Кинтнер, Корнелльский университет; Тодд Хамфрис; Техасский университет в Остине; Джоанна Хинкс; Корнельский университет (июль – август 2009 г.). «ГНСС и ионосферное мерцание: как пережить следующий солнечный максимум» . Внутри ГНСС . Архивировано из оригинала 6 ноября 2011 г. Проверено 12 октября 2011 г.

[4] «Ошибки GPS (учебное пособие Trimble)» . Архивировано из оригинала 07 марта 2016 г. Проверено 8 февраля 2016 г.

[isik-5] Jump up to: ^а ^б Исик, Август Каган; Хон, Джухён; Петрунин Иван; Цурдос, Антониос (25 августа 2020 г.). «Анализ целостности системы GPS-навигации БПЛА в городской среде» . Робототехника . 9 (3): 66. doi : 10.3390/robotics9030066 .

[6] Раздел 1.4.9 Принципов спутникового позиционирования .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]