Неразличимый

В математической логике неразличимое — это объект, который нельзя отличить ни по одному свойству или отношению , определяемому формулой . Обычно первого порядка рассматриваются только формулы .

Примеры

Если a , b и c различны и { a , b , c } — набор неразличимых , то, например, для каждой двоичной формулы $\beta$, мы должны иметь

$[\beta (a,b)\land \beta (b,a)\land \beta (a,c)\land \beta (c,a)\land \beta (b,c)\land \beta (c,b)]\lor [\lnot \beta (a,b)\land \lnot \beta (b,a)\land \lnot \beta (a,c)\land \lnot \beta (c,a)\land \lnot \beta (b,c)\land \lnot \beta (c,b)]\,.$

Исторически тождество неразличимого было одним из законов мышления Готфрида Лейбница .

Обобщения

В некоторых контекстах рассматривают более общее понятие неразличимого порядка , и термин «последовательность неразличимых» часто неявно относится к этому более слабому понятию. В нашем примере с двоичными формулами сказать, что тройка ( a , b , c ) различных элементов представляет собой последовательность неразличимых элементов, означает

$([\varphi (a,b)\land \varphi (a,c)\land \varphi (b,c)]\lor [\lnot \varphi (a,b)\land \lnot \varphi (a,c)\land \lnot \varphi (b,c)])\land ([\varphi (b,a)\land \varphi (c,a)\land \varphi (c,b)]\lor [\lnot \varphi (b,a)\land \lnot \varphi (c,a)\land \lnot \varphi (c,b)])\,.$

В более общем смысле для структуры ${\mathfrak {A}}$ с доменом $A$ и линейный порядок $<$, набор $I\subseteq A$ говорят, что это набор $<$-неразличимо для ${\mathfrak {A}}$ если для любых конечных подмножеств $\{i_{0},\ldots ,i_{n}\}\subseteq I$ и $\{j_{0},\ldots ,j_{n}\}\subseteq I$ с $i_{0}<\ldots <i_{n}$ и $j_{0}<\ldots <j_{n}$ и любая формула первого порядка $\phi$ языка ${\mathfrak {A}}$ с $n$ свободные переменные, ${\mathfrak {A}}\vDash \phi (i_{0},\ldots ,i_{0})\iff {\mathfrak {A}}\vDash \phi (j_{0},\ldots ,j_{n})$. ^{п. 2}

Приложения

Неразличимые порядки занимают видное место в теории кардиналов Рамсея , кардиналов Эрдеша и нулевой остроты .

См. также

• Личность неразличимых
• Грубый набор

Ссылки

• Джех, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . Збл   1007.03002 .