Немыцкий оператор

В математике — операторы Немыцкого это класс нелинейных операторов на L ^п пространства с хорошими свойствами непрерывности и ограниченности . Свое название они получили от математика Виктора Владимировича Немыцкого .

Общее определение оператора суперпозиции

Позволять ${\textstyle \mathbb {X} ,\ \mathbb {Y} ,\ \mathbb {Z} \neq \varnothing }$ быть непустыми множествами, то ${\textstyle \mathbb {Y} ^{\mathbb {X} },\ \mathbb {Z} ^{\mathbb {X} }}$ — наборы отображений из ${\textstyle \mathbb {X} }$ со значениями в ${\textstyle \mathbb {Y} }$ и ${\textstyle \mathbb {Z} }$ соответственно. Оператор суперпозиции Немыцкого ${\textstyle H\ \colon \mathbb {Y} ^{\mathbb {X} }\to \mathbb {Z} ^{\mathbb {X} }}$ – отображение, индуцированное функцией ${\textstyle h\ \colon \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \to \mathbb {Z} }$, и такой, что для любой функции ${\textstyle \varphi \in \mathbb {Y} ^{\mathbb {X} }}$ его изображение задается правилом $$(H\varphi )(x)=h(x,\varphi (x))\in \mathbb {Z} ,\quad {\mbox{for all}}\ x\in \mathbb {X} .$$ Функция ${\textstyle h}$ называется генератором оператора Немыцкого ${\textstyle H}$.

Определение оператора Немыцкого

Пусть Ω — область ( открытое и связное множество ) в n -мерном евклидовом пространстве . Функция f : Ω × R ^м → R Говорят, что удовлетворяет условиям Каратеодори , если

• f ( x , u ) — непрерывная функция u для почти всех x ∈ Ω;
• f ( x , u ) — измеримая функция от x для всех u ∈ R ^м .

Учитывая функцию f, удовлетворяющую условиям Каратеодори, и функцию u : Ω → R ^м определим новую функцию F ( u ) : Ω → R по формуле

$F(u)(x)=f{\big (}x,u(x){\big )}.$

Функция F называется оператором Немыцкого .

Теорема о липшицевых операторах

Предположим, что ${\textstyle h:[a,b]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\textstyle X={\text{Lip}}[a,b]}$ и

$$H:{\text{Lip}}[a,b]\to {\text{Lip}}[a,b]$$

оператор где ${\textstyle H}$ определяется как ${\textstyle \left(Hf\right)\left(x\right)}$ ${\textstyle =h(x,f(x))}$ для любой функции ${\textstyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ и любой ${\textstyle x\in [a,b]}$. В этих условиях оператор ${\textstyle H}$ липшицева непрерывна тогда и только тогда, когда существуют функции ${\textstyle G,H\in {\text{Lip}}[a,b]}$ такой, что

$$h(x,y)=G(x)y+H(x),\quad x\in [a,b],\quad y\in \mathbb {R} .$$

Теорема об ограниченности

Пусть Ω — область, 1 < p < +∞ и g ∈ L ^д (Ом; R ), при этом

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$

Предположим, что удовлетворяет условиям Каратеодори и что для некоторой константы C и всех x и u f

${\big |}f(x,u){\big |}\leq C|u|^{p-1}+g(x).$

Тогда оператор Немыцкого F, определенный выше, является ограниченным и непрерывным отображением из L ^п (О? Р ^м ) в Л ^д (О? Р ).

Ссылки

• Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 370. ИСБН  0-387-00444-0 . (раздел 10.3.4)

• Матковски, Дж. (1982). «Функциональные уравнения и операторы Немыцкого». Функционал. Эквач . 25 (2): 127–132.