Цена безразличия

В финансах ценообразование безразличия – это метод ценообразования финансовых ценных бумаг с учетом функции полезности . Цена безразличия также известна как цена резервирования или частная оценка . В частности, цена безразличия — это цена, при которой агент будет иметь тот же ожидаемый уровень полезности , выполняя финансовую операцию , как и не совершая ее (в противном случае при оптимальной торговле). Обычно цена безразличия представляет собой диапазон цен ( спред спроса и предложения ) для конкретного агента; этот ценовой диапазон является примером границ выгодной сделки .

Математика

Учитывая функцию полезности $u$ и претензия $C_{T}$ с известными выигрышами в некоторый терминальный момент $T,$ пусть функция $V:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяться

$V(x,k)=\sup _{X_{T}\in {\mathcal {A}}(x)}\mathbb {E} \left[u\left(X_{T}+kC_{T}\right)\right]$,

где $x$ это первоначальный вклад, ${\mathcal {A}}(x)$ представляет собой совокупность всех портфелей самофинансирования в определенный момент времени. $T$ начиная с дарения $x$, и $k$ – номер претензии, подлежащей покупке (или продаже). Тогда цена предложения безразличия $v^{b}(k)$ для $k$ единицы $C_{T}$ это решение $V(x-v^{b}(k),k)=V(x,0)$ и безразличие запрашивает цену $v^{a}(k)$ это решение $V(x+v^{a}(k),-k)=V(x,0)$. Границей цены безразличия является диапазон $\left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]$.

Пример

Рассмотрим рынок с безрисковым активом. $B$ с $B_{0}=100$ и $B_{T}=110$и рискованный актив $S$ с $S_{0}=100$ и $S_{T}\in \{90,110,130\}$ каждый с вероятностью $1/3$. Пусть ваша функция полезности задается выражением $u(x)=1-\exp(-x/10)$. Чтобы найти цену безразличия спроса или предложения для одного европейского колл-опциона со страйком 110, сначала рассчитайте $V(x,0)$.

$V(x,0)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}))]$

$=\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10x-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x+20\beta }{10}}\right)\right]\right]$.

Который максимизируется, когда $\beta =0$, поэтому $V(x,0)=1-\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)$.

Теперь, чтобы найти цену предложения безразличия, решите $V(x-v^{b}(1),1)$

$V(x-v^{b}(1),1)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x-v^{b}(1)}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}+C_{T}))]$

$=\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))+20\beta +20}{10}}\right)\right]\right]$

Который максимизируется, когда $\beta =-{\frac {1}{2}}$, поэтому $V(x-v^{b}(1),1)=1-{\frac {1}{3}}\exp(-1.10x/10)\exp(1.10v^{b}(1)/10)\left[1+2\exp(-1)\right]$.

Поэтому $V(x,0)=V(x-v^{b}(1),1)$ когда $v^{b}(1)={\frac {10}{1.1}}\log \left({\frac {3}{1+2\exp(-1)}}\right)\approx 4.97$.

Аналогично решить для $v^{a}(1)$ чтобы найти равнодушие, спросите цену.

См. также

• Готовность платить
• Готовность принять

Примечания

• Если $\left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]$ являются границами цены безразличия для претензии, тогда по определению $v^{b}(k)=-v^{a}(-k)$.
• Если $v(k)$ - это цена предложения безразличия для претензии и $v^{sup}(k),v^{sub}(k)$ - это цена суперхеджирования и цена субхеджирования соответственно, тогда $v^{sub}(k)\leq v(k)\leq v^{sup}(k)$. Следовательно, на целостном рынке цена безразличия всегда равна цене хеджирования требования.