Kalman–Yakubovich–Popov lemma

Лемма Калмана -Якубовича-Попова является результатом системного анализа и теории управления , который гласит: Учитывая число $\gamma >0$ , два n-вектора B, C и nxn матрица Гурвица A, если пара $(A,B)$ полностью управляема , то симметричная матрица P и вектор Q, удовлетворяющий

A^{T}P+PA=-QQ^{T}

PB-C={\sqrt {\gamma }}Q

существуют тогда и только тогда, когда

\gamma +2Re[C^{T}(j\omega I-A)^{-1}B]\geq 0

Более того, набор $\{x:x^{T}Px=0\}$ – ненаблюдаемое подпространство для пары $(C,A)$ .

Лемму можно рассматривать как обобщение уравнения Ляпунова теории устойчивости. Он устанавливает связь между линейным матричным неравенством, включающим конструкции пространства состояний A, B, C, и условием в частотной области .

Лемма Калмана–Попова–Якубовича, впервые сформулированная и доказанная в 1962 году Владимиром Андреевичем Якубовичем. ^{[ 1 ]} где было указано, что для строгого частотного неравенства. Случай нестрогого частотного неравенства был опубликован в 1963 году Рудольфом Э. Кальманом . ^{[ 2 ]} В этой работе также была установлена связь с разрешимостью уравнений Лурье. В обеих статьях рассматривались системы со скалярным входом. Ограничение на размерность управления было снято в 1964 году Гантмахером и Якубовичем. ^{[ 3 ]} и независимо Василе Михаем Поповым . ^{[ 4 ]} Подробные обзоры по этой теме можно найти в ^{[ 5 ]} и в главе 3. ^{[ 6 ]}

Multivariable Kalman–Yakubovich–Popov lemma

Данный $A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},M=M^{T}\in \mathbb {R} ^{(n+m)\times (n+m)}$ с $\det(j\omega I-A)\neq 0$ для всех $\omega \in \mathbb {R}$ и $(A,B)$ управляемы, следующие условия эквивалентны:

для всех $\omega \in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$
$\left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]^{*}M\left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]\leq 0$
существует матрица $P\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ такой, что $P=P^{T}$ и
$M+\left[{\begin{matrix}A^{T}P+PA&PB\\B^{T}P&0\end{matrix}}\right]\leq 0.$

Соответствующая эквивалентность для строгих неравенств имеет место, даже если $(A,B)$ не является контролируемым. ^{[ 7 ]}

Ссылки

^ Якубович, Владимир Андреевич (1962). «Решение некоторых матричных неравенств в теории автоматического управления». Докл. Акад. Наук СССР . 143 (6): 1304–1307.
^ Кальман, Рудольф Э. (1963). «Функции Ляпунова для задачи Лурье в автоматическом управлении» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 49 (2): 201–205. Бибкод : 1963PNAS...49..201K . дои : 10.1073/pnas.49.2.201 . ПМК 299777 . ПМИД 16591048 .
^ Гантмахер Ф.Р. и Якубович В.А. (1964). Абсолютная устойчивость нелинейных управляемых систем, Тр. II Всесоюзная конф. Теоретическая прикладная механика . Москва: Наука. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Попов, Василе М. (1964). «Гиперстабильность и оптимальность автоматических систем с несколькими функциями управления». Преподобный Румен Sci. Тех . 9 (4): 629–890.
^ Гусев С.В. и Лихтарников А.Л. (2006). «Лемма Калмана-Попова-Якубовича и S-процедура: исторический очерк» Автоматизация и дистанционное управление . 67 (11): 1768–1810. дои : 10.1134/s000511790611004x . S2CID 120970123 .
^ Брольято Б., Лозано Р., Машке Б. и Эгеланд О. (2020). Диссипативные системы анализа и управления (3-е изд.). Швейцария АГ: Springer Nature. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Андерс Ранцер (1996). «О лемме Калмана–Якубовича–Попова». Системы и контрольные письма . 28 (1): 7–10. дои : 10.1016/0167-6911(95)00063-1 .

[1] Якубович, Владимир Андреевич (1962). «Решение некоторых матричных неравенств в теории автоматического управления». Докл. Акад. Наук СССР . 143 (6): 1304–1307.

[Kalman1963-2] Кальман, Рудольф Э. (1963). «Функции Ляпунова для задачи Лурье в автоматическом управлении» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 49 (2): 201–205. Бибкод : 1963PNAS...49..201K . дои : 10.1073/pnas.49.2.201 . ПМК 299777 . ПМИД 16591048 .

[3] Гантмахер Ф.Р. и Якубович В.А. (1964). Абсолютная устойчивость нелинейных управляемых систем, Тр. II Всесоюзная конф. Теоретическая прикладная механика . Москва: Наука. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[4] Попов, Василе М. (1964). «Гиперстабильность и оптимальность автоматических систем с несколькими функциями управления». Преподобный Румен Sci. Тех . 9 (4): 629–890.

[5] Гусев С.В. и Лихтарников А.Л. (2006). «Лемма Калмана-Попова-Якубовича и S-процедура: исторический очерк» Автоматизация и дистанционное управление . 67 (11): 1768–1810. дои : 10.1134/s000511790611004x . S2CID 120970123 .

[6] Брольято Б., Лозано Р., Машке Б. и Эгеланд О. (2020). Диссипативные системы анализа и управления (3-е изд.). Швейцария АГ: Springer Nature. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[Rantzer1996-7] Андерс Ранцер (1996). «О лемме Калмана–Якубовича–Попова». Системы и контрольные письма . 28 (1): 7–10. дои : 10.1016/0167-6911(95)00063-1 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]