Фано Фано

В статистике фактор Фано , ^[1] подобно коэффициенту вариации , является мерой дисперсии процесса счета . Первоначально он использовался для измерения шума Фано в детекторах ионов. Он назван в честь Уго Фано , итало-американского физика.

Фактор Фано спустя время $t$ определяется как

F(t)={\frac {\sigma _{t}^{2}}{\mu _{t}}},

где $\sigma _{t}$ стандартное отклонение и $\mu _{t}$ среднее число событий процесса счета через некоторое время $t$ . Фактор Фано можно рассматривать как своего рода отношение шума к сигналу; это мера надежности, с которой случайную величину можно оценить времени ожидания после нескольких случайных событий .

Для процесса подсчета Пуассона дисперсия счета равна среднему счету, поэтому $F=1$ .

Определение

Для процесса подсчета $N_{t}$ , фактор Фано через некоторое время $t>0$ определяется как,

F(t)={\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}.

Иногда долгосрочный предел также называют фактором Фано.

F=\lim _{t\to \infty }F(t).

Для процесса возобновления с временем выдержки, распределенным подобно случайной величине $S$ , у нас есть это,

F=\lim _{t\to \infty }F(t)=\lim _{t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (S)}{\operatorname {E} [S]^{2}}}.

^[2]

Поскольку мы имеем, что правая часть равна квадрату коэффициента вариации $c_{v}^{2}=\operatorname {Var} (S)/\operatorname {E} [S]^{2}$ , правую часть этого уравнения иногда также называют фактором Фано. ^[3]

Интерпретация

Если рассматривать фактор Фано как дисперсию числа, $F$ примерно соответствует ширине пика $N_{t}$ . Таким образом, фактор Фано часто интерпретируется как непредсказуемость основного процесса.

Пример: постоянная случайная величина

Если времена выдержки постоянны, то $F=0$ . Таким образом, если $F\approx 0$ тогда мы интерпретируем процесс обновления как очень предсказуемый.

Пример: процесс подсчета Пуассона

Когда вероятность события, происходящего в любом временном интервале, одинакова для всего времени, тогда времена удержания должны быть распределены экспоненциально, давая процесс подсчета Пуассона , для которого $F=1$ .

Использование для обнаружения частиц

В детекторах частиц фактор Фано возникает из-за потери энергии при столкновении, которая не является чисто статистической. Процесс возникновения каждого отдельного носителя заряда не является независимым, поскольку количество способов ионизации атома ограничено дискретными электронными оболочками. Конечным результатом является лучшее энергетическое разрешение, чем предсказывается чисто статистическими соображениями. Например, если w — это средняя энергия частицы, создающая носитель заряда в детекторе, то относительное разрешение на полувысоте для измерения энергии частицы E составляет: ^[4]

R={\frac {\mathrm {FWHM} }{\mu }}=2.35{\sqrt {\frac {Fw}{E}}},

где коэффициент 2,35 связывает стандартное отклонение с полувысотой.

Фактор Фано зависит от материала. Некоторые теоретические значения: ^[5]

И:	0,115 (обратите внимание на расхождение с экспериментальным значением)
Ге:	0.13 ^[6]
ГаАс:	0.12 ^[7]
Алмаз:	0.08

Измерить фактор Фано сложно, поскольку на разрешение влияют многие факторы, но некоторые экспериментальные значения таковы:

И:	0.128 ± 0.001 ^[8] (при 5,9 кэВ) / 0,159 ± 0,002 (при 122 кэВ) ^[8]
Ар (газ):	0.20 ± 0.01/0.02 ^[9]
Хе (газ):	от 0,13 до 0,29 ^[10]
ЦЗТ :	0.089 ± 0.005 ^[11]

Использование в нейробиологии

Фактор Фано используется в нейробиологии для описания изменчивости нейронных импульсов. ^[12] В этом контексте события представляют собой события нейронных спайков, а время удержания — это интервалы между спайками (ISI). Часто используют предельное определение фактора Фано, для которого

$F=\lim _{t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (ISI)}{(\operatorname {E} [ISI])^{2}}}=CV^{2},$

где $CV$ – коэффициент вариации ISI.

Обнаружено, что некоторые нейроны имеют различное распределение ISI, а это означает, что процесс счета больше не является процессом обновления. Вместо этого используется процесс обновления Маркова. В случае, когда мы имеем только два марковских состояния с равными вероятностями перехода $p$ , мы имеем, что предел, указанный выше, снова сходится, ^[13] $F=2{\frac {CV_{2}^{2}\mu _{1}^{2}+CV_{1}^{2}\mu _{2}^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}}+\left({\frac {1}{p}}-1\right){\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}},$ где $\mu$ представляет собой среднее значение ISI соответствующего состояния.

Хотя в большинстве работ предполагается наличие постоянного фактора Фано, в недавних работах рассматривались нейроны с непостоянными факторами Фано. ^[14] В этом случае обнаружено, что непостоянные факторы Фано могут быть достигнуты путем введения как шума, так и нелинейности в скорость основного процесса Пуассона.

См. также

Шум Фано
Индекс дисперсии – эквивалент фактора Фано для бесконечного временного окна.
Уго Фано

Ссылки

^ Фано, У. (1947). «Ионизационный выход излучений. II. Флуктуации числа ионов». Физический обзор . 72 (1): 26–29. Бибкод : 1947PhRv...72...26F . дои : 10.1103/PhysRev.72.26 .
^ Кокс, доктор медицинских наук (1962). Теория обновления .
^ Шуай, JW; Цзэн, С.; Юнг, П. (2002). «Когерентный резонанс: об использовании и злоупотреблении фактором Фано». Флюк. Шум Летт . 02 (3): Л139–Л146. дои : 10.1142/S0219477502000749 .
^ Лео, WR (1987). Методы экспериментов по ядерной физике и физике элементарных частиц: практический подход . Спрингер-Верлаг. стр. 109–125 . ISBN 978-3-540-17386-1 .
^ Элиг, Р.; Блум, С.; Удар, К. (1980). «Рассеяние ионизацией и излучением фононов в полупроводниках». Физический обзор B . 22 (12): 5565. Бибкод : 1980PhRvB..22.5565A . дои : 10.1103/PhysRevB.22.5565 .
^ HR БилгерФиз. Откр. 163, 238 (1967).
^ Дж. Бертуччо, Д. МайоккиДж. Прил. Физика, 92 (2002), с. 1248
^ Jump up to: ^а ^б Котов, ИВ; Нил, Х.; О'Коннор, П. (01 сентября 2018 г.). «Энергия образования пар и фактор Фано кремния измерены при 185 К с использованием рентгеновских лучей 55Fe» . Ядерные приборы и методы в физических исследованиях. Раздел А: Ускорители, спектрометры, детекторы и сопутствующее оборудование . 901 : 126–132. дои : 10.1016/j.nima.2018.06.022 . ISSN 0168-9002 .
^ Касе, М.; Акиока, Т.; Мамиода, Х.; Кикучи, Дж.; Док, Т. (1984). «Фактор Фано в чистом аргоне». Ядерные приборы и методы в физических исследованиях. Раздел А: Ускорители, спектрометры, детекторы и сопутствующее оборудование . 227 (2): 311. Бибкод : 1984NIMPA.227..311K . дои : 10.1016/0168-9002(84)90139-6 .
^ Ду Карму, SJC; Борхес, ФИГМ; Винагре, Флорида; Конде, Канада (2008). «Экспериментальное исследование $w$ -Значения и факторы Фано газообразного ксенона и смесей Ar-Xe для рентгеновских лучей». IEEE Transactions on Nuclear Science . 55 (5): 2637. Бибкод : 2008ITNS...55.2637D . doi : 10.1109/TNS.2008.2003075 . S2CID 43581597 .
^ Редус, Р.Х.; Пантазис, Дж.А.; Хубер, AC; Иорданов, В.Т.; Батлер, Дж. Ф.; Апотовский, Б. (2011). «Определение фактора Фано для CZT». Дело МРС . 487 . дои : 10.1557/PROC-487-101 .
^ Даян, Питер; Эбботт, LF (2001). Теоретическая нейронаука .
^ Болл, Ф.; Милн, РК (2005). «Простые выводы свойств счетных процессов, связанных с марковскими процессами восстановления». {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Чарльз, Адам С.; Парк; Веллер; Хорвиц; Подушка (2018). «Развенчание фактора Фано: гибкий модельный подход к распределению нейронной изменчивости» . Нейронные вычисления . 30 (4): 1012–1045. дои : 10.1162/neco_a_01062 . ПМК 6558056 . ПМИД 29381442 .

[1] Фано, У. (1947). «Ионизационный выход излучений. II. Флуктуации числа ионов». Физический обзор . 72 (1): 26–29. Бибкод : 1947PhRv...72...26F . дои : 10.1103/PhysRev.72.26 .

[2] Кокс, доктор медицинских наук (1962). Теория обновления .

[3] Шуай, JW; Цзэн, С.; Юнг, П. (2002). «Когерентный резонанс: об использовании и злоупотреблении фактором Фано». Флюк. Шум Летт . 02 (3): Л139–Л146. дои : 10.1142/S0219477502000749 .

[Leo-4] Лео, WR (1987). Методы экспериментов по ядерной физике и физике элементарных частиц: практический подход . Спрингер-Верлаг. стр. 109–125 . ISBN 978-3-540-17386-1 .

[5] Элиг, Р.; Блум, С.; Удар, К. (1980). «Рассеяние ионизацией и излучением фононов в полупроводниках». Физический обзор B . 22 (12): 5565. Бибкод : 1980PhRvB..22.5565A . дои : 10.1103/PhysRevB.22.5565 .

[6] HR БилгерФиз. Откр. 163, 238 (1967).

[7] Дж. Бертуччо, Д. МайоккиДж. Прил. Физика, 92 (2002), с. 1248

[:0-8] Jump up to: ^а ^б Котов, ИВ; Нил, Х.; О'Коннор, П. (01 сентября 2018 г.). «Энергия образования пар и фактор Фано кремния измерены при 185 К с использованием рентгеновских лучей 55Fe» . Ядерные приборы и методы в физических исследованиях. Раздел А: Ускорители, спектрометры, детекторы и сопутствующее оборудование . 901 : 126–132. дои : 10.1016/j.nima.2018.06.022 . ISSN 0168-9002 .

[9] Касе, М.; Акиока, Т.; Мамиода, Х.; Кикучи, Дж.; Док, Т. (1984). «Фактор Фано в чистом аргоне». Ядерные приборы и методы в физических исследованиях. Раздел А: Ускорители, спектрометры, детекторы и сопутствующее оборудование . 227 (2): 311. Бибкод : 1984NIMPA.227..311K . дои : 10.1016/0168-9002(84)90139-6 .

[10] Ду Карму, SJC; Борхес, ФИГМ; Винагре, Флорида; Конде, Канада (2008). «Экспериментальное исследование $w$ -Значения и факторы Фано газообразного ксенона и смесей Ar-Xe для рентгеновских лучей». IEEE Transactions on Nuclear Science . 55 (5): 2637. Бибкод : 2008ITNS...55.2637D . doi : 10.1109/TNS.2008.2003075 . S2CID 43581597 .

[11] Редус, Р.Х.; Пантазис, Дж.А.; Хубер, AC; Иорданов, В.Т.; Батлер, Дж. Ф.; Апотовский, Б. (2011). «Определение фактора Фано для CZT». Дело МРС . 487 . дои : 10.1557/PROC-487-101 .

[12] Даян, Питер; Эбботт, LF (2001). Теоретическая нейронаука .

[13] Болл, Ф.; Милн, РК (2005). «Простые выводы свойств счетных процессов, связанных с марковскими процессами восстановления». {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[14] Чарльз, Адам С.; Парк; Веллер; Хорвиц; Подушка (2018). «Развенчание фактора Фано: гибкий модельный подход к распределению нейронной изменчивости» . Нейронные вычисления . 30 (4): 1012–1045. дои : 10.1162/neco_a_01062 . ПМК 6558056 . ПМИД 29381442 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]