Теория Литтлвуда – Пэли

В гармоническом анализе , области математики, теория Литтлвуда-Пэли представляет собой теоретическую основу, используемую для расширения определенных результатов о L. ² функции для L ^п функции при 1 < p < ∞. Обычно он используется вместо аргументов ортогональности, которые применимы только к L. ^п функции, когда p = 2. Одна реализация включает изучение функции путем ее разложения на функции с локализованными частотами и использования g -функции Литтлвуда – Пэли для сравнения ее с ее интегралом Пуассона. Случай с 1 переменной был предложен Дж. Э. Литтлвудом и Р. Пейли ( 1931 , 1937 , 1938 ) и развит далее польскими математиками А. Зигмундом и Я. Марцинкевичем в 1930-х годах с использованием теории комплексных функций ( Зигмунд 2002 , главы XIV, XV) . Позже Э. М. Штейн распространил эту теорию на более высокие измерения, используя методы реальных переменных.

Диадическое разложение функции

Теория Литтлвуда – Пэли использует разложение функции f в сумму функций f _ρ с локализованными частотами. Есть несколько способов построить такое разложение; типичный метод заключается в следующем.

Если f(x) — функция на R , а ρ — измеримое множество (в частотном пространстве) с характеристической функцией $\chi _{\rho }(\xi )$, то f _ρ определяется через преобразование Фурье

${\hat {f}}_{\rho }:=\chi _{\rho }{\hat {f}}$.

Неформально, f _ρ — это часть f , частоты которой лежат в ρ .

Если ∆ представляет собой совокупность измеримых множеств, которые (с точностью до меры 0) не пересекаются и объединяются на вещественной прямой, то хорошо себя ведущую функцию f можно записать как сумму функций f _ρ для ρ ∈ ∆.

Когда ∆ состоит из множеств вида

$\rho =[-2^{k+1},-2^{k}]\cup [2^{k},2^{k+1}].$

для целого числа k это дает так называемое «двоичное разложение» f : Σ _ρ   f _ρ .

Существует множество вариантов этой конструкции; например, характеристическую функцию множества, используемую при определении f _ρ, можно заменить более гладкой функцией.

Ключевой оценкой теории Литтлвуда-Пэли является теорема Литтлвуда-Пэли, которая ограничивает размер функций f _ρ через размер f . Существует множество версий этой теоремы, соответствующих различным способам разложения f . Типичная оценка состоит в том, чтобы ограничить L ^п норма (Σ _ρ | f _ρ | ² ) ^1/2 кратным L ^п норма ф .

В более высоких размерностях эту конструкцию можно обобщить, заменив интервалы прямоугольниками со сторонами, параллельными осям координат. К сожалению, это довольно специальные наборы, что ограничивает их применение более высокими измерениями.

Литтлвуда – Пэли. g -функция

Функция g является нелинейным оператором на L ^п ( Р ^н ), который можно использовать для управления L ^п норма функции f через ее интеграл Пуассона . Интеграл Пуассона u ( x , y ) от f определяется для y > 0 формулой

$u(x,y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}P_{y}(t)f(x-t)\,dt$

где ядро ​​Пуассона P в верхнем полупространстве $\{(y;x)\in \mathbf {R} ^{n+1}\mid y>0\}$ дается

$P_{y}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi it\cdot x-2\pi |t|y}\,dt={\frac {\Gamma ((n+1)/2)}{\pi ^{(n+1)/2}}}{\frac {y}{(|x|^{2}+y^{2})^{(n+1)/2}}}.$

Литтлвуда-Пэли g -функция g ( f ) определяется формулой

$g(f)(x)=\left(\int _{0}^{\infty }|\nabla u(x,y)|^{2}y\,dy\right)^{1/2}$

Основное свойство g состоит в том, что он приблизительно сохраняет нормы. Точнее, при 1 < p < ∞ отношение L ^п норм f и g ( f ) ограничено сверху и снизу фиксированными положительными константами, зависящими от n и p, но не от f .

Приложения

из ранних применений теории Литтлвуда-Пэли было доказательство того, что если Sn _Одним являются частичными суммами ряда Фурье периодического L ^п функция ( p > 1) и n _j — последовательность, удовлетворяющая n _{j +1} / n _j > q для некоторого фиксированного q > 1, то последовательность S _{n j} сходится почти всюду. Позже это было заменено теоремой Карлесона-Ханта, показывающей, что сам _Sn по себе сходится почти всюду.

Теорию Литтлвуда-Пэли также можно использовать для доказательства теоремы о множителе Марцинкевича .

Ссылки

• Койфман, Р.Р.; Вайс, Гвидо (1978), «Рецензия на книгу: Литтлвуд-Пэли и теория множителей» , Бюллетень Американского математического общества , 84 (2): 242–250, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14464-4 , ISSN   0002-9904 , МР   1567040
• Эдвардс, RE; Годри, Дж.И. (1977), Литтлвуд-Пэли и теория множителей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-07726-8 , МР   0618663
• Фрейзер, Майкл; Яверт, Бьёрн; Вайс, Гвидо (1991), Теория Литтлвуда-Пэли и исследование функциональных пространств , Серия региональных конференций CBMS по математике, том. 79, опубликовано для Совета конференции математических наук, Вашингтон, округ Колумбия, doi : 10.1090/cbms/079 , ISBN.  978-0-8218-0731-6 , МР   1107300
• Литтлвуд, Дж. Э.; Пейли, REAC (1931), «Теоремы о рядах Фурье и степенных рядах», J. London Math. Соц. , 6 (3): 230–233, doi : 10.1112/jlms/s1-6.3.230
• Литтлвуд, Дж. Э.; Пейли, REAC (1937), «Теоремы о рядах Фурье и степенных рядах (II)», Proc. Лондонская математика. Соц. , 42 (1): 52–89, doi : 10.1112/plms/s2-42.1.52
• Литтлвуд, Дж. Э.; Пейли, REAC (1938), «Теоремы о рядах Фурье и степенных рядах (III)», Proc. Лондонская математика. Соц. , 43 (2): 105–126, doi : 10.1112/plms/s2-43.2.105
• Штейн, Элиас М. (1970), Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли. , Анналы математических исследований, № 63, Princeton University Press , MR   0252961
• Зигмунд, А. (2002) [1935], Тригонометрический ряд. Том. I, II , Кембриджская математическая библиотека (3-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-89053-3 , г-н   : 1963498