Множитель (анализ Фурье)

В анализе Фурье оператор множителя является типом линейного оператора или преобразования функций . Эти операторы действуют на функцию, изменяя его преобразование Фурье . В частности, они умножают преобразование Фурье функции на указанную функцию, известную как множитель или символ . Иногда сам оператор множителя термина сокращается просто для множителя . Проще говоря, множитель изменяет частоты, связанные с любой функцией. Этот класс операторов оказывается широким: общая теория показывает, что оператор-инвариант перевода в группе , который подчиняется некоторым (очень мягким) условиям регулярности, может быть выражен в качестве оператора множителя, и, наоборот. Многие знакомые операторы, такие как переводы и дифференциация , являются операторами множителя, хотя есть много более сложных примеров, таких как преобразование Гильберта .

При обработке сигнала оператор множителя называется « фильтром фильтра », а множитель является частотной характеристикой (или передаточной функции ).

В более широком контексте операторы множителя являются специальными случаями операторов спектрального множителя, которые возникают в результате функционального исчисления оператора (или семейства операторов коммутирующих). Они также являются особыми случаями псевдодифференциальных операторов , а в более общем смысле операторы Фурье . В этой области есть естественные вопросы, которые все еще открыты, такие как характеристика L ^п Ограниченные операторы множителя (см. Ниже).

Операторы множителя не связаны с множителями Lagrange , за исключением того, что они оба включают операцию умножения.

Необходимый фон для преобразования Фурье , см. Страницу. Дополнительный важный фон можно найти на норме оператора страниц и L ^п космос .

Примеры

В настройке периодических функций, определенных на единичном круге , преобразование Фурье функции - это просто последовательность его коэффициентов Фурье . Чтобы увидеть, что дифференциация может быть реализована как множитель, рассмотрим серию Фурье для производной периодической функции $f(t).$ После использования интеграции по частям в определении коэффициента Фурье у нас есть

${\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)$.

Таким образом, формально из этого следует, что серия Фурье для производной - это просто серия Фурье для $f$ умножен на фактор $in$Полем Это то же самое, что сказать, что дифференциация является оператором множителя с множителем $in$.

Примером оператора множителя, действующего на функции на реальной линии, является преобразование Гильберта . Можно показать, что преобразование Гильберта является оператором множителя, чей множитель определяется $m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )$, где SGN является функцией Signum .

Наконец, еще одним важным примером множителя является характерная функция единичного куба в $\mathbb {R} ^{n}$ который возникает при изучении «частичных сумм» для преобразования Фурье (см. Сходимость серии Фурье ).

Определение

Операторы мультипликатора могут быть определены в любой группе G, для которой также определено преобразование Фурье (в частности, на любой локально компактной группе Абелевой ). Общее определение заключается в следующем. Если $f:G\to \mathbb {C}$ достаточно регулярная функция , пусть ${\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C}$ обозначайте его преобразование Фурье (где ${\hat {G}}$ это Pontryagin двойник G ). Позволять $m:{\hat {G}}\to \mathbb {C}$ Обознайте другую функцию, которую мы будем называть множителем . Тогда оператор множителя $T=T_{m}$ Связан с этим символом M определяется через формулу

${\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi ).$

Другими словами, преобразование Фурье TF на частоте ξ определяется преобразованием Фурье на этой частоте , умноженное на значение множителя на этой частоте. Это объясняет терминологию «множитель».

Обратите внимание, что вышеуказанное определение только определяет TF неявно; Чтобы явно восстановить TF, необходимо инвертировать преобразование Фурье. Это можно легко сделать, если и F , и M достаточно гладкие и интегрируемые. Одна из основных задач у субъекта-определить, для любого указанного множителя M , независимо от того, остается ли соответствующий оператор множителя Фурье, остается четко определенным, когда F имеет очень низкую регулярность, например, если он предполагается, что он лежит в L ^п космос. См. Обсуждение «Проблема ограниченности» ниже. Как минимум, обычно требуется, чтобы множитель M был ограничен и измеримым ; Этого достаточно, чтобы установить ограниченность на $L^{2}$ но в целом недостаточно силен, чтобы придать ограничению на других местах.

Можно рассматривать оператор множителя T как композицию трех операторов, а именно преобразование Фурье, операция точечного умножения на M , а затем обратное преобразование Фурье. Эквивалентно, t - сопряжение оператора точкового умножения с помощью преобразования Фурье. Таким образом, можно придумать операторов множителя как операторов, которые диагонализируются преобразованием Фурье.

Операторы множителя в общих группах

Теперь мы специализируем вышеупомянутое общее определение для конкретных групп g . Сначала рассмотрим круг единицы $G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ;$ Таким образом, функции на G можно рассматривать как 2π -периодические функции на реальной линии. В этой группе двойник Pontryagin - это группа целых чисел, ${\hat {G}}=\mathbb {Z} .$ Преобразование Фурье (для достаточно регулярных функций f ) определяется

${\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt$

и обратное преобразование Фурье дается

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.$

Мультипликатор в этом настройке - просто последовательность $(m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }$ чисел и оператора $T=T_{m}$ Связан с этим множителем затем определяется формулой

$(Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},$

по крайней мере для достаточного благополучия выбора множителя $(m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }$ и функция f .

Теперь пусть G будет евклидовым пространством $G=\mathbb {R} ^{n}$Полем Здесь двойная группа также евклидова, ${\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},$ и преобразования Фурье и обратные Фурье даются формулами

${\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{aligned}}$

Мультипликатор в этом настройке является функцией $m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,$ и связанный оператор множителя $T=T_{m}$ определяется

$Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,$

Опять же, предполагая достаточно сильную регулярность и предположения о ограничении на множитель и функцию.

В смысле распределений нет никакой разницы между операторами множителя и операторами свертки ; Каждый множитель также может быть выражен в форме TF = F ∗ k для некоторого распределения k известного как ядра свертки T. T , В этой точке, перевод на сумму x ₀ является сверткой с дельта -функцией Dirac Δ (· - x ₀ ), дифференциация - это свертка с Δ '. Дальнейшие примеры приведены в таблице ниже .

Диаграммы

Дальнейшие примеры

На круге подразделения

В следующей таблице показаны некоторые общие примеры операторов множителя на круге устройства $G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .$

Имя	Множитель, $m_{n}$	Оператор, $Tf(t)$	Ядро, $K(t)$
Оператор личности	1	f ( t )	Dirac Delta Function $\delta (t)$
Умножение на постоянное C	в	cf ( t )	$c\delta (t)$
Перевод по с	$e^{-ins}$	f ( t - s )	$\delta (t-s)$
Дифференциация	в	$f'(t)$	$\delta '(t)$
K -Fold Difsioniation	$(in)^{k}$	$f^{(k)}(t)$	$\delta ^{(k)}(t)$
дифференциала коэффициента Оператор дифференциала	$P(in)$	$P\left({\frac {d}{dt}}\right)f(t)$	$P\left({\frac {d}{dt}}\right)\delta (t)$
Дробная производная порядка $\alpha$	$|n|^{\alpha }$	$\left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }f(t)$	$\left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }\delta (t)$
Среднее значение	$1_{n=0}$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt$	1
Средний компонент	$1_{n\neq 0}$	$f(t)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt$	$\delta (t)-1$
Интеграция (без среднего компонента)	${\frac {1}{in}}1_{n\neq 0}$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(\pi -s)f(t-s)\,ds$	Функция пилобата ${\frac {1}{2}}\left(1-\left\{{\frac {t}{2\pi }}\right\}\right)$
Периодическое трансформация Гильберта h	$1_{n\geq 0}-1_{n<0}$	$Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds$	$p.v.2{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds$
Суммирование Дирихле $D_{N}$	$1_{-N\leq n\leq N}$	$\sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{int}$	Дирихлет ядра ${\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}$
Фехер суммирование $F_{N}$	$\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right)1_{-N\leq n\leq N}$	$\sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right){\hat {f}}(n)e^{int}$	Голова -Кернел ${\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}Nt\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}\right)^{2}$
Общий множитель	$m_{n}$	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int}$	$T\delta (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}e^{int}$
Общий свертки оператор	${\hat {K}}(n)$	$f*K(t):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(s)K(t-s)\,ds$	$K(t)$

На евклидовом пространстве

В следующей таблице показаны некоторые общие примеры операторов множителя на эвклидовом пространстве $G=\mathbb {R} ^{n}$.

Имя	Множитель, $m(\xi )$	Оператор, $Tf(x)$	Ядро, $K(x)$
Оператор личности	1	f ( x )	$\delta (x)$
Умножение на постоянное C	в	CF ( x )	$c\delta (x)$
Перевод по y	$e^{2\pi iy\cdot \xi }$	$f(x-y)$	$\delta (x-y)$
Производное ${\frac {d}{dx}}$ (только одно измерение)	$2\pi i\xi$	${\frac {df}{dx}}(x)$	$\delta '(x)$
Частичная производная ${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$	$2\pi i\xi _{j}$	${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)$	${\frac {\partial \delta }{\partial x_{j}}}(x)$
Лапласиан $\Delta$	$-4\pi ^{2}|\xi |^{2}$	$\Delta f(x)$	$\Delta \delta (x)$
Оператор дифференциала дифференциала коэффициента $P(\nabla )$	$P(i\xi )$	$P(\nabla )f(x)$	$P(\nabla )\delta (x)$
Дробная производная порядка $\alpha$	$(2\pi |\xi |)^{\alpha }$	$(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}f(x)$	$(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\delta (x)$
Потенциал порядка Риза $\alpha$	$(2\pi |\xi |)^{-\alpha }$	$(-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)$	$(-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}\delta (x)=c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}$
Потенциал Бесселя порядка $\alpha$	$\left(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2}\right)^{-{\frac {\alpha }{2}}}$	$(1-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)$	${\frac {1}{(4\pi )^{\frac {\alpha }{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\pi }{s}}|x|^{2}}e^{-{\frac {s}{4\pi }}}s^{\frac {-n+\alpha }{2}}{\frac {ds}{s}}$
Оператор теплового потока $\exp(t\Delta )$	$\exp \left(-4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)$	$\exp(t\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy$	Нагреть ядро ${\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {|x|^{2}}{4t}}}$
уравнения Schrödinger Оператор эволюции $\exp(it\Delta )$	$\exp \left(-i4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)$	$\exp(it\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy$	Ядра Schrödinger ${\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}e^{i{\frac {|x|^{2}}{4t}}}$
Гильберт преобразование H (только одно измерение)	$-i\operatorname {sgn}(\xi )$	$Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(y)}{x-y}}\,dy$	$p.v.{\frac {1}{\pi x}}$
Riesz Transfors R J	$-i{\frac {\xi _{j}}{|\xi |}}$	$R_{j}f:=p.v.c_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)(x_{j}-y_{j})}{|x-y|^{n+1}}}\,dy$	$p.v.{\frac {c_{n}x_{j}}{|x|^{n+1}}},\quad c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}(n+1)\right)}{\pi ^{{\frac {1}{2}}(n+1)}}}$
Частичный интеграл Фурье $S_{R}^{0}$ (только одно измерение)	$1_{-R\leq \xi \leq R}$	$\int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx$	${\frac {\sin(2\pi Rx)}{\pi x}}$
Мультипликатор диска $S_{R}^{0}$	$1_{|\xi |\leq R}$	$\int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx$	$|x|^{-{\frac {n}{2}}}J_{\frac {n}{2}}(2\pi |x|)$ ( J - функция Бесселя )
Операторы Бохнера -Риз $S_{R}^{\delta }$	$\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }$	$\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi$	$\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi$
Общий множитель	$m(\xi )$	$\int _{R^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi$	$\int _{R^{n}}m(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi$
Общий оператор свертки	${\hat {K}}(\xi )$	$f*K(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)K(x-y)\,dy$	$K(x)$

Общие соображения

Карта $m\mapsto T_{m}$ это гомоморфизм C *-Algebras . Это следует, потому что сумма двух операторов множителя $T_{m}$ и $T_{m'}$ операторы множителя с множителем $m+m'$, композиция этих двух операторов множителя является оператором множителя с множителем $mm',$ и приспособление оператора множителя $T_{m}$ еще один оператор множителя с множителем ${\overline {m}}$.

В частности, мы видим, что любые два оператора множителя ездят друг на друга. Известно, что операторы множителя являются инвариантными переводами. И наоборот, можно показать, что любой инвариантный линейный оператор перевода, который ограничен на L ² ( G ) является оператором множителя.

L. ​ ^п проблема ограниченности

L. ​ ^п Проблема ограниченности (для любого конкретного p ) для данной группы G , просто заявлена, просто идентифицировать множители M , так что соответствующий оператор множителя ограничен из L ^п ( G ) к L ^п ( G ). Такие множители обычно просто называют « L ^п множители ». Обратите внимание, что по мере того, как операторы множителя всегда являются линейными, такие операторы ограничены тогда и только в том случае, если они непрерывны . Эта проблема считается чрезвычайно сложной в целом, но многие особые случаи можно рассматривать. Проблема во многом зависит от P , P, Хотя есть отношения с двойственностью : если $1/p+1/q=1$ и 1 ≤ p , q ≤ ∞, затем оператор множителя ограничен на L ^п Если и только если он ограничен на l ^Q. .

Теорема риса-тарорина показывает, что если оператор множителя ограничен двумя разными l ^п Пространства, тогда это также ограничено во всех промежуточных пространствах. Следовательно, мы понимаем, что пространство множителей наименьшее для L для L ¹ и L. ^∞ приближения и растет по мере ² , который имеет самое большое пространство множителя.

Ограниченность на л ²

Это самый простой случай. Теорема Парсеваля позволяет полностью решить эту проблему и получить, что функция m является L ² ( G ) Мультипликатор тогда и только тогда, когда он ограничен и измеримы.

Ограниченность на л ¹ или L. ^∞

Этот случай сложнее, чем гильбертиан ( L ² ) случай, но полностью разрешен. Следующее верно:

Теорема : в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ функция $m(\xi )$ это L. ¹ множитель (эквивалентно L ^∞ множитель), если и только в том случае, если существует конечная мера бореля μ, такое, что M является преобразованием Фурье μ.

(Часть «если» - это простой расчет. Часть «только если» здесь более сложная.)

Ограниченность на л ^п для 1 < p <∞

В этом общем случае необходимые и достаточные условия для ограничения не были установлены, даже для евклидового пространства или круга единицы. Однако известно несколько необходимых условий и нескольких достаточных условий. Например, известно, что для того, чтобы оператор множителя был ограничен даже одним L ^п Пространство, множитель должен быть ограничен и измеримым (это следует из характеристики L ² множители выше и свойство включения). Однако этого недостаточно, за исключением случаев, когда p = 2.

Результаты, которые дают достаточные условия для ограничения, известны как теоремы множителя . Три таких результата приведены ниже.

Marcinkiewicz Multiplier Теор

Позволять $m:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ быть ограниченной функцией, которая непрерывно дифференцируется на каждом наборе формы $\left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)$ для $j\in \mathbb {Z}$ и имеет производную такую, что

$\sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi \right)<\infty .$

Тогда м - l ^п Множитель для всех 1 < p <∞.

Михлин мультипликатор теорема

Пусть M будет ограниченной функцией на $\mathbb {R} ^{n}$ что гладко, за исключением, возможно, в начале координат, и так, чтобы функция ${\textstyle |x|^{k}\left|\nabla ^{k}m\right|}$ ограничен для всех целых чисел ${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$: Тогда м - l ^п Множитель для всех 1 < p <∞ .

Это особый случай теоремы мультипликатора Hörmander-Mikhlin.

Доказательства этих двух теоремы довольно сложные, включающие методы теории Кальдерона -Бигмунда и теоремы интерполяции Марцинкьюсека : для первоначального доказательства см. Михлин (1956) или Михлин (1965 , с. 225–240).

Радиальные множители

Для радиальных множителей необходимое и достаточное условие для $L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ ограниченность известна некоторым частичным диапазоном $p$Полем Позволять $n\geq 4$ и ${\textstyle 1<p<2{\frac {n-1}{n+1}}}$Полем Предположим, это $m$ является радиальным мультипликатором, компактно поддерживаемым вдали от происхождения. Затем $m$ является $L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ множитель тогда и только тогда, когда преобразование Фурье $m$ принадлежит $L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$.

Это теорема Хео, Назаров и Сигер . Они также предоставили необходимое и достаточное условие, которое является действительным без допущений от компактной поддержки на $m$.

Примеры

Переводы являются ограниченными операторами на любом l ^п Полем Дифференциация не ограничена ни на одном L ^п Полем ограничено Преобразование Гильберта только для P строго между 1 и ∞. Тот факт, что он не ограничен L ^∞ легко, так как хорошо известно, что преобразование Гильберта пошаговой функции неограничено. Двойственность дает то же самое для p = 1 . Тем не менее, теоремы множества множества Marcinkiewicz и Mikhlin показывают, что преобразование Гильберта ограничено в L ^п Для всех 1 < p <∞ .

Еще один интересный случай на круге устройства - это когда последовательность $(x_{n})$ который предлагается в качестве множителя, постоянна для N в каждом из наборов $\left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}$ и $\left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}.$ Из теоремы множителя MarcInkiewicz (адаптирована к контексту круга единицы), мы видим, что любая такая последовательность (также предполагается, что, конечно, ограничена) является множителем на каждую 1 < p <∞ .

В одном измерении оператор мультипликатора диска $S_{R}^{0}$(См. Таблицу выше) ограничена L ^п на каждый 1 < p <∞ . Однако в 1972 году Чарльз Фефферман показал удивительный результат, что в двух и более высоких измерениях оператор множителя диска $S_{R}^{0}$ Неограничен на L ^п Для каждого P ♠ 2 . Соответствующая проблема для множителей Бохнера -Ризе только частично решается; См. Также Гипотезу Бохнера -Риз .

Смотрите также

• Кальдерон - Zygmund Lemma
• Marcinkiewicz Theor
• Единственные интегралы
• Университетские интегральные операторы типа свертки

Примечания

Работы цитируются

• Duoandikoetxea, Javier (2001), Анализ Фурье , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2172-5
• Stein, Elias M. (1970), единственные интегралы и свойства дифференциации функций , Princeton University Press

Общие ссылки

• Grafakos, Loukas (2008), классический анализ Фурье (2 -е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-09431-1
• Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-54359-0
• Hörmander, Lars (1960), «Оценки инвариантных операторов перевода в L ^п Пространства ", Acta Mathematica , 104 : 93–140, doi : 10.1007/bf02547187
• Hörmander, Lars (1990), Анализ линейных операторов дифференциального дифференциала, I. Теория распределения и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-52343-х
• Михлин, Соломон Г. (1956), «О множестве интегралов Фурье», Doklady Akademii Nauk Sssr , 109 : 701–703, ZBL   0073.08402 (на российском ).
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные единственные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий в чистой и прикладной математике, Vol. 83, Pergamon Press , ZBL   0129.07701 . Это содержит всеобъемлющий обзор всех результатов, известных во время публикации, включая набросок истории.
• Рудин, Уолтер (1962), Анализ Фурье по группам , интерсцену
• Torchinsky, Alberto (2004), реальные методы в гармоническом анализе , Dover, ISBN  0-486-43508-3