Небольшая пограничная собственность

В математике свойство малости границы является свойством некоторых топологических динамических систем . Это динамический аналог индуктивного определения Лебега , охватывающего нулевую размерность.

Определение

Рассмотрим категорию топологической динамической системы ( системы ), состоящей из компактного метрического пространства. сокращенно $X$ и гомеоморфизм $T:X\rightarrow X$ . Набор $E\subset X$ называется малым , если он имеет исчезающую орбитальную емкость , т. е. $\operatorname {ocap} (E)=0$ . Это эквивалентно: $\forall \mu \in M_{T}(X),\ \mu (E)=0$ где $M_{T}(X)$ обозначает совокупность $T$ - инвариантные меры относительно $X$ .

Система $(X,T)$ Говорят, что он обладает свойством малой границы (SBP), если $X$ имеет основу открытых множеств $\{O_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ которого границы малы, т.е. $\operatorname {ocap} (\partial O_{i})=0$ для всех $i$ .

Всегда ли можно снизить топологическую энтропию?

Малые множества были введены Майклом Шубом и Бенджамином Вайсом при исследовании вопроса «всегда ли можно снизить топологическую энтропию?» Цитата из их статьи: ^[1]

«Для энтропии, основанной на теории меры, хорошо известно и довольно легко увидеть, что преобразование положительной энтропии всегда имеет факторы с меньшей энтропией. энтропия. Наша цель здесь рассмотреть аналогичный вопрос для топологической энтропии... Мы исключим тривиальный фактор, когда он сводится к одной точке».

Напомним, что система $(Y,S)$ называется фактором $(X,T)$ , альтернативно $(X,T)$ называется расширением $(Y,S)$ , если существует непрерывное сюръективное отображение $\varphi :X\rightarrow Y$ что является эквивариантным , т.е. $\varphi (Tx)=S\varphi (x)$ для всех $x\in X$ .

Таким образом, Шуб и Вайс задали вопрос: Учитывая систему $(X,T)$ и $\varepsilon >0$ , можно ли найти нетривиальный множитель $(Y,S)$ так что $\operatorname {h_{top}} (Y,S)<\varepsilon$ ?

Напомним, что система $(X,T)$ называется минимальным, если оно не имеет собственных непустых замкнутых $T$ -инвариантные подмножества. Оно называется бесконечным, если $|X|=\infty$ .

Линденштраусс представил SBP и доказал: ^[2]

Теорема: Пусть $(X,T)$ быть расширением бесконечной минимальной системы. Следующие действия эквивалентны:

$(X,T)$ обладает свойством малой границы.
$\operatorname {mdim} (X,T)=0$ , где $\operatorname {mdim}$ обозначает средний размер .
Для каждого $\varepsilon >0$ , $x\neq y\in X$ , существует фактор $\varphi _{xy}:(X,T)\rightarrow (Y_{xy},S)$ так $\varphi _{xy}(x)\neq \varphi _{xy}(y)$ и $\operatorname {h_{top}} (Y_{xy},S)<\varepsilon$ .
$(X,T)=\varprojlim (X_{i},T_{i})$ где $\{(X_{i},T_{i})\}_{i=1}^{\infty }$ является обратным пределом систем с конечной топологической энтропией $\operatorname {h_{top}} (X_{i},T_{i})<\infty$ для всех $i$ .

Позже эта теорема была обобщена на контекст нескольких коммутирующих преобразований Гутманом, Линденштраусом и Цукамото. ^[3]

Системы без нетривиальных факторов конечной энтропии

Позволять $X=[0,1]^{\mathbb {Z} }$ и $T:X\rightarrow X$ — сдвиговый гомеоморфизм

(\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots ).

Это карта Бейкера , сформулированная как двусторонний сдвиг. Можно показать, что $(X,T)$ не имеет нетривиальных факторов конечной энтропии. ^[2] Можно найти и минимальные системы с тем же свойством. ^[2]

Ссылки

^ Шуб, Майкл и Б. Вайс. «Можно ли всегда снизить топологическую энтропию?» Эргодическая теория и динамические системы 11.3 (1991): 535–546.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Линденштраусс, Илон (1 декабря 1999 г.). «Средняя размерность, малые коэффициенты энтропии и теорема вложения» . Математические публикации Института перспективных научных исследований . 89 (1): 227–262. дои : 10.1007/BF02698858 . ISSN 0073-8301 .
^ Гутман, Йонатан, Илон Линденштраусс и Масаки Цукамото. «Средний размер $\mathbb {Z} ^{k}$ -действия.» Геометрический и функциональный анализ 26.3 (2016): 778–817.

[1] Шуб, Майкл и Б. Вайс. «Можно ли всегда снизить топологическую энтропию?» Эргодическая теория и динамические системы 11.3 (1991): 535–546.

[Lin-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Линденштраусс, Илон (1 декабря 1999 г.). «Средняя размерность, малые коэффициенты энтропии и теорема вложения» . Математические публикации Института перспективных научных исследований . 89 (1): 227–262. дои : 10.1007/BF02698858 . ISSN 0073-8301 .

[3] Гутман, Йонатан, Илон Линденштраусс и Масаки Цукамото. «Средний размер $\mathbb {Z} ^{k}$ -действия.» Геометрический и функциональный анализ 26.3 (2016): 778–817.

[1]

[2]

[3]