Уравнения скорости лазерного диода

Уравнения лазерного диода скорости моделируют электрические и оптические характеристики лазерного диода. Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений связывает количество или плотность фотонов и носителей заряда ( электронов ) в устройстве с током инжекции , а также с параметрами устройства и материала, такими как время жизни носителей , время жизни фотонов и оптическое усиление .

Уравнения скорости могут быть решены путем численного интегрирования для получения решения во временной области или использованы для вывода набора уравнений устойчивого состояния или малого сигнала , чтобы помочь в дальнейшем понимании статических и динамических характеристик полупроводниковых лазеров .

Уравнения скорости лазерного диода могут быть сформулированы с большей или меньшей сложностью для моделирования различных аспектов поведения лазерного диода с различной точностью.

Многомодовые уравнения скорости

В многомодовой постановке уравнения скорости смоделировать лазер с несколькими оптическими модами . Эта формулировка требует одного уравнения для плотности носителей и одного уравнения для плотности фотонов в каждой из мод оптического резонатора :

${\frac {dN}{dt}}={\frac {I}{eV}}-{\frac {N}{\tau _{n}}}-\sum _{\mu =1}^{\mu =M}\Gamma _{\mu }G_{\mu }P_{\mu }$

${\frac {dP_{\mu }}{dt}}=(\Gamma _{\mu }G_{\mu }-{\frac {1}{\tau _{p}}})P_{\mu }+\beta _{\mu }{\frac {N}{\tau _{r}}}$

где: N — плотность носителей, P — плотность фотонов, I — приложенный ток, e — элементарный заряд , V — объём активной области, ${\tau _{n}}$ – время жизни несущей, G – коэффициент усиления (с ⁻¹ ), $\Gamma$ - фактор ограничения, ${\tau _{p}}$ время жизни фотона, ${\beta }$ – коэффициент спонтанного излучения, ${\tau _{r}}$ — постоянная времени излучательной рекомбинации, M — количество моделируемых мод, μ — номер моды, и к G, Γ и β добавлен индекс μ, чтобы указать, что эти свойства могут различаться для разных режимов.

Первый член в правой части уравнения скорости носителей представляет собой скорость инжектированных электронов (I/eV), второй член — это скорость истощения носителей заряда из-за всех процессов рекомбинации (описываемых временем затухания ${\tau _{n}}$) и третий член — обеднение носителей заряда вследствие вынужденной рекомбинации , пропорциональное плотности фотонов и коэффициенту усиления среды.

В уравнении скорости плотности фотонов первый член ΓGP — это скорость, с которой плотность фотонов увеличивается из-за вынужденного излучения (тот же член в уравнении скорости носителей, с положительным знаком и умноженный на коэффициент ограничения Γ), второй член — это скорость при котором фотоны покидают резонатор для внутреннего поглощения или выхода из зеркал, выраженного через постоянную времени затухания ${\tau _{p}}$ третий член — вклад спонтанного излучения в результате излучательной рекомбинации носителей в лазерную моду.

Модальное усиление

G _µ , коэффициент усиления µ ^й режиме, можно смоделировать параболической зависимостью усиления по длине волны следующим образом:

$G_{\mu }={\frac {\alpha N[1-(2{\frac {\lambda (t)-\lambda _{\mu }}{\delta \lambda _{g}}})^{2}]-\alpha N_{0}}{1+\epsilon \sum _{\mu =1}^{\mu =M}P_{\mu }}}$

где: α — коэффициент усиления, а ε — коэффициент сжатия усиления (см. ниже). λ _μ — длина волны μ ^й режиме, δλ _g — полная ширина на половине высоты (FWHM) кривой усиления, центр которой определяется выражением

$\lambda (t)=\lambda _{0}+{\frac {k(N_{th}-N(t))}{N_{th}}}$

где λ ₀ — центральная длина волны для N = N _th , а k — константа спектрального сдвига (см. ниже). N _th - плотность носителей на пороге и определяется выражением

$N_{th}=N_{tr}+{\frac {1}{\alpha \tau _{p}\Gamma }}$

где N _tr — плотность носителей при прозрачности.

β _μ определяется выражением

$\beta _{\mu }={\frac {\beta _{0}}{1+(2(\lambda _{s}-\lambda _{\mu })/\delta \lambda _{s})^{2}}}$

где

β ₀ — коэффициент спонтанного излучения, λ _s — центральная длина волны спонтанного излучения и δλ _s — ширина спонтанного излучения на полувысоте. Наконец, λ _μ — длина волны μ ^й режиме и определяется выражением

$\lambda _{\mu }=\lambda _{0}-\mu \delta \lambda +{\frac {(n-1)\delta \lambda }{2}}$

где δλ — расстояние между модами.

Усиление сжатия

Член коэффициента усиления G не может быть независимым от высоких плотностей мощности, обнаруженных в полупроводниковые лазерные диоды. Существует несколько явлений, которые приводят к увеличению выигрыша. «сжатие», которое зависит от оптической мощности. Двумя главными явлениями являются сжигание пространственных дыр и сжигание спектральных дыр .

Пространственное выгорание дырок происходит в результате стоячей волновой природы оптического излучения. режимы. Увеличение мощности генерации приводит к снижению эффективности диффузии носителей, что означает, что время стимулированной рекомбинации становится короче относительно носителя время диффузии. Таким образом, на гребне волны носители истощаются быстрее, вызывая уменьшение модального усиления.

Выгорание спектральных дыр связано с механизмами расширения профиля усиления, такими как как короткое внутризонное рассеяние, связанное с плотностью мощности.

Чтобы учесть сжатие усиления из-за высокой плотности мощности в полупроводниковых лазерах, уравнение усиления модифицируется таким образом, что оно становится связанным с обратной оптической мощностью. Следовательно, следующий член в знаменателе уравнения усиления:

$1+\epsilon \sum _{\mu =1}^{\mu =M}P_{\mu }$

Спектральный сдвиг

Динамический сдвиг длины волны в полупроводниковых лазерах происходит в результате изменения в показателе преломления в активной области при модуляции интенсивности. Это возможно оценить сдвиг длины волны, определив изменение показателя преломления активного область в результате инъекции носителей. Полный анализ спектрального сдвига во время прямого Модуляция показала, что показатель преломления активной области изменяется пропорционально плотности носителей и, следовательно, длина волны изменяется пропорционально инжектируемому току.

Экспериментально хорошее соответствие сдвигу длины волны определяется выражением:

$\delta \lambda =k\left({\sqrt {\frac {I_{0}}{I_{th}}}}-1\right)$

где I ₀ — инжектируемый ток, I _th — пороговый ток генерации.