Установите проблему обложки

Проблема Set Cover - это классический вопрос в комбинаторике , информатике , исследованиях операций и теории сложности .

Учитывая набор элементов ${1, 2,\dots, n}$ , (впредь упоминается как вселенная , указывая все возможные рассматриваемые элементы) и коллекцию, называемой $S$ , данными $подмножествами$ которых , союз равна вселенной, Проблема с установленным покрытием состоит в том, чтобы идентифицировать наименьшую субболь $S$ , союз которого равна вселенной.

Например, рассмотрим вселенную, $u = {1, 2, 3, 4, 5}$ и коллекцию наборов $s = {{1, 2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {4 , 5}}.$ В этом примере $M$ равен 4, так как есть четыре подмножества, которые составляют эту коллекцию. Союз $S$ равен $U.$ Тем не менее, мы можем охватить все элементы только двумя наборами: ${{1, 2, 3}, {4, 5}}$ ‍, см. Рисунок, но не только с одним набором. Следовательно, решение задачи поставки с установкой для этого $U$ и $S$ имеет размер 2.

Более формально, учитывая вселенную ${\mathcal {U}}$ и семья ${\mathcal {S}}$ подмножества ${\mathcal {U}}$ , установленная крышка - это подсемейство ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {S}}$ из наборов, союз которых ${\mathcal {U}}$ .

Set Cover В задаче решения о решении ввод - пара $({\mathcal {U}},{\mathcal {S}})$ и целое число $k$ ; Вопрос в том, есть ли установленное покрытие размера $k$ или меньше.
Set Cover В задаче оптимизации вход - пара $({\mathcal {U}},{\mathcal {S}})$ и задача состоит в том, чтобы найти наборную крышку, которая использует наименьшее количество наборов.

Решающая версия Set Coversing является NP-полным . Это одна из 21 задач NP-завершения, показанной NP-полной, 1972 году в . ^{[ 1 ]} Это проблема, «чье исследование привело к разработке фундаментальных методов для всей области» алгоритмов приближения . ^{[ 2 ]}

Варианты

В задаче взвешенного набора покровов каждому набору присваивается положительный вес (представляющий его стоимость), и цель состоит в том, чтобы найти установленное покрытие с наименьшим весом. Обычная (невзветная) наборная крышка соответствует всем наборам, имеющим вес 1.

В задаче об обложке дробного набора разрешено выбирать доли наборов, а не целые наборы. Дробная наборная крышка - это присвоение фракции (число в [0,1]) к каждому набору в ${\mathcal {S}}$ Таким образом, для каждого элемента x во вселенной сумма фракций наборов, содержащих x, составляет как минимум 1. Цель состоит в том, чтобы найти дробную наборную крышку, в которой сумма фракций максимально невелика. Обратите внимание, что (обычная) наборная крышка эквивалентна дробной наборной крышке, в которой все фракции составляют либо 0, либо 1; Следовательно, размер наименьшего дробного покрытия имеет максимум больше всего размера наименьшего покрытия, но может быть меньше. Например, рассмотрим Universe $u = {1, 2, 3}$ и сборку наборов $s = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}}.$ Наименьшая наборная обложка имеет размер 2, например $, {{1, 2}, {2, 3}}.$ Но есть дробная наборная крышка размера 1.5, в которой принимается 0,5 доля каждого набора.

Линейная программная формулировка

Проблема с установленной обложкой может быть сформулирована как следующая целочисленная линейная программа (ILP). ^{[ 3 ]}

минимизировать	$\sum _{s\in {\mathcal {S}}}x_{s}$		(минимизировать количество наборов)
в зависимости от	$\sum _{s\colon e\in s}x_{s}\geqslant 1$	для всех $e\in {\mathcal {U}}$	(Покрыть каждый элемент вселенной)
	$x_{s}\in \{0,1\}$	для всех $s\in {\mathcal {S}}$ .	(Каждый набор находится в наборной крышке, либо нет)

Для более компактного представления ограничения покрытия можно определить матрицу заболеваемости $A$ , где каждая строка соответствует элементу, и каждый столбец соответствует набору, и $A_{e,s}=1$ Если элемент e находится в комплекте и $A_{e,s}=0$ в противном случае. Затем ограничение покрытия может быть написано как $Ax\geqslant 1$ .

Взвешенная наборная крышка описывается программой, идентичной приведенной выше, за исключением того, что целевая функция для минимизации - это $\sum _{s\in {\mathcal {S}}}w_{s}x_{s}$ , где $w_{s}$ Вес набора $s\in {\mathcal {S}}$ .

Дробная наборная крышка описана программой, идентичной приведенной выше, за исключением того, что $x_{s}$ может быть неинтемерным, поэтому последнее ограничение заменяется на $0\leq x_{s}\leq 1$ .

Эта линейная программа принадлежит к более общему классу LPS для покрытия проблем , поскольку все коэффициенты в целевой функции, и обе стороны ограничений не подлежат негативным. Разрыв в интегральности ILP больше всего $\scriptstyle \log n$ (где $\scriptstyle n$ размер вселенной). Было показано, что его расслабление действительно дает фактор- $\scriptstyle \log n$ Алгоритм аппроксимации для минимальной задачи наставника. ^{[ 4 ]} См. Рандомизированное округление#SetCover для подробного объяснения.

Нанесение наборов сценария

Установка покрытия эквивалентно задаче удара . Что видно, наблюдая, что экземпляр установленного покрытия может рассматриваться как произвольный двухпартийный график , причем вселенная представлена вершинами слева, наборы, представленные вершинами на справа, и края, представляющие членство в элементах для наборов. Затем задача состоит в том, чтобы найти минимальную подмножество левых веществ, которые имеют нетривиальный пересечение с каждым из правых выверков, что именно является проблемой наборов.

В области вычислительной геометрии набор ударов для коллекции геометрических объектов также называется набором или пирсингом . ^{[ 5 ]}

Жадный алгоритм

Существует жадный алгоритм для аппроксимации полиномиального времени, который выбирает наборы в соответствии с одним правилом: на каждом этапе выберите набор, который содержит наибольшее количество обнаруженных элементов. Этот метод может быть реализован во времени линейной в сумме размеров входных наборов, используя очередь ковша для расстановки приоритетов наборов. ^{[ 6 ]} Он достигает соотношения $H(s)$ , где $s$ размер набора, который должен быть покрыт. ^{[ 7 ]} Другими словами, он находит покрытие, которое может быть $H(n)$ раз больше, чем минимальный, где $H(n)$ является $n$ -Т -гармонический номер : $H(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\leq \ln {n}+1$

Этот жадный алгоритм фактически достигает отношения приближения $H(s^{\prime })$ где $s^{\prime }$ максимальный набор кардинальности $S$ Полем Для $\delta -$ плотные случаи, однако, существует $c\ln {m}$ -Покрасная алгоритм для каждого $c>0$ . ^{[ 8 ]}

Плотный пример для жадного алгоритма с k = 3

Существует стандартный пример, на котором жадный алгоритм достигает соотношения приближения $\log _{2}(n)/2$ Полем Вселенная состоит из $n=2^{(k+1)}-2$ элементы. Set System состоит из $k$ парные непересекающиеся наборы $S_{1},\ldots ,S_{k}$ с размерами $2,4,8,\ldots ,2^{k}$ соответственно, а также два дополнительных набора непересечений $T_{0},T_{1}$ В каждый из которых содержит половину элементов от каждого $S_{i}$ Полем На этом входе жадный алгоритм принимает наборы $S_{k},\ldots ,S_{1}$ , в этом порядке, в то время как оптимальное решение состоит только из $T_{0}$ и $T_{1}$ Полем Пример такого ввода для $k=3$ изображен справа.

Результаты несоответствия показывают, что жадный алгоритм является по сути наиболее способным алгоритм приближения полинома для установления до условий более низкого порядка. (См. Результаты неудовлетворенности ниже), в соответствии с вероятными предположениями о сложности. Более жесткий анализ жадного алгоритма показывает, что соотношение приближения точно $\ln {n}-\ln {\ln {n}}+\Theta (1)$ . ^{[ 9 ]}

Низкочастотные системы

Если каждый элемент встречается в большинстве наборов F , то решение может быть найдено в полиномиальное время, которое приближается к оптимальному к фактору F, используя релаксацию LP .

Если ограничение $x_{S}\in \{0,1\}$ заменяется $x_{S}\geq 0$ для в всех ${\mathcal {S}}$ В целочисленной линейной программе, показанной выше она становится линейной программой (неинтемерной) L. , Алгоритм можно описать следующим образом:

Найдите оптимальное решение O для программы L , используя некоторый метод полиномиального времени для решения линейных программ.
Выберите все наборы , для которых соответствующая переменная x _S имеет значение не менее 1/ f в решении o . ^{[ 10 ]}

Несоответствующие результаты

Когда $n$ относится к размеру вселенной, Lund & Yannakakis (1994) показали, что набор покрытия не может быть аппроксимировано в полиномиальное время, до фактора ${\tfrac {1}{2}}\log _{2}{n}\approx 0.72\ln {n}$ , если NP не имеет квази-полиномиальных алгоритмов времени. Feige (1998) улучшил этот нижний границу до ${\bigl (}1-o(1){\bigr )}\cdot \ln {n}$ Под теми же предположениями, которые по существу соответствуют коэффициенту приближения, достигнутую с помощью жадного алгоритма. Raz & Safra (1997) создали нижнюю границу из $c\cdot \ln {n}$ , где $c$ определенная константа, при более слабом предположении, что P $\not =$ Гнездо Аналогичный результат с более высоким значением $c$ недавно был доказан Алоном, Мошковиц и Сафрой (2006) . Dinur & Steurer (2013) продемонстрировали оптимальную несоответствия, доказывая, что он не может быть аппроксимирован к ${\bigl (}1-o(1){\bigr )}\cdot \ln {n}$ если $=$ Например

В низкочастотных системах Dinur et al. (2003) доказали, что он не имеет $f-1-\epsilon$ Полем Если гипотеза уникальных игр верна, это может быть улучшено до $f-\epsilon$ as proven by Khot & Regev (2008) .

Trevisan (2001) доказывает, что устанавливает экземпляры обложки с наборами размеров больше всего $\Delta$ не может быть аппроксимирован к фактору лучше, чем $\ln \Delta -O(\ln \ln \Delta )$ если $=$ Np , таким образом, делая приближение $\ln \Delta +1$ из жадного алгоритма по существу жестко в этом случае.

Взвешенная наборная крышка

Расслабление целочисленной линейной программы для взвешенной наборной крышки, указанная выше , можно использовать рандомизированное округление, чтобы получить $O(\log n)$ -Какторное приближение. Не взвешенная наборная крышка может быть адаптирована к взвешенному корпусу. ^{[ 11 ]}

Дробная наборная крышка

Связанные проблемы

Набор ударов - это эквивалентная переформулировка установленного покрытия.
Cover Vertex - это особый случай удара.
Крышка Edge - это особый случай наборной крышки.
Геометрическая наборная крышка - это особый случай наборной крышки, когда вселенная представляет собой набор точек в $\mathbb {R} ^{d}$ и наборы вызваны пересечением вселенной и геометрических фигур (например, диски, прямоугольники).
Установить упаковку
Максимальная проблема покрытия - выбрать большинство k наборов, чтобы покрыть как можно больше элементов.
Доминирующий набор - это проблема выбора набора вершин (доминирующий набор) на графике, так что все другие вершины были примыкают хотя бы с одной вершиной в доминирующем наборе. Проблема доминирующего набора было показано, что NP завершается через сокращение от установленной крышки.
Точная проблема с покрытием - выбрать установленную крышку без элемента, включенного в более чем один набор покрытия.
Красно-синий набор крышка. ^{[ 12 ]}
Похищение сетки .
Монотонная дуализация является вычислительной проблемой, эквивалентной либо перечислением всех минимальных наборов ударов, либо в перечислении всех минимальных наборов обложки заданного семейства. ^{[ 13 ]}

Примечания

^ Kort & Vygen 2012 , с.
^ Вазирани (2001 , стр. 15)
^ Вазирани (2001 , стр. 108)
^ Вазирани (2001 , с. 110–112)
^ Нильсен, Фрэнк (2000-09-06). «Быстрое удары коробок в высоких размерах» (PDF) . Теоретическая информатика . 246 (1): 53–72. doi : 10.1016/s0304-3975 (98) 00336-3 . ISSN 0304-3975 .
^ Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Stein, Clifford (2009) [1990], «Упражнение 35.3-3», Введение в алгоритмы (3-е изд.), MIT Press и McGraw-Hill, p. 1122, ISBN 0-262-03384-4
^ Chvatal, V. (август 1979 г.), «Жадная эвристика для задачи с установкой», Математика операционных исследований , 4 (3): 233–235, doi : 10.1287/moor.4.3.233 , JSTOR 3689577
^ Karpinski & Zelikovsky 1998
^ Славик Петр. Тесный анализ жадного алгоритма для установленного покрытия . Stoc'96, стр. 435-441, doi : 10.1145/237814.237991
^ Вазирани (2001 , с. 118–119)
^ Министерство (2001 , глава 14)
^ Информация., Национальные лаборатории Sandia. Соединенные Штаты. Департамент энергетики. Соединенные Штаты. Департамент энергетики. Управление научных и технических (1999). На красно-сине-наборной проблеме . Соединенные Штаты. Департамент энергии. OCLC 68396743 .
^ Gainer-Dewar, Andrew; Vera-Licona, Paola (2017), «Минимальная задача генерации набора ударов: алгоритмы и вычисления», Siam Journal по дискретной математике , 31 (1): 63–100, Arxiv : 1601.02939 , doi : 10.1137/15M1055024 , г-н 3590650 , DOI: 10.1137/15M1055024, г-н S2CID 9240467

Ссылки

Алон, Нога ; Мошковиц, Дана ; SAFRA, SHMUEL (2006), «Алгоритмическая конструкция наборов для K-ограничений», ACM Trans. Алгоритмы , 2 (2): 153–177, Citeseerx 10.1.1.138.8682 , doi : 10.1145/1150334.1150336 , ISSN 1549-6325 , S2CID 11922650 .
Корммен, Томас Х .; , Чарльз Э. Лейзерон Rivest, Ronald L .; Stein, Clifford (2001), Введение в алгоритмы , Кембридж, Массачусетс: с Press и McGraw-Hill, с. 1033-1038, ISBN 978-0-262-03293-3
Feige, Uriel (1998), «Порог ln n для аппроксимации наборной обложки», журнал ACM , 45 (4): 634–652, Citeseerx 10.1.1.70.5014 , doi : 10.1145/285055.285059 , ISSN 0004-5411. , S2CID 52827488 .
Карпински, Марек; Zelikovsky, Alexander (1998 ) . 40, Американское математическое общество, с. 169–178, ISBN 9780821870846
Лунд, Карстен ; Yannakakis, Mihalis (1994), «О твердости аппроксимирования проблем с минимизацией», журнал ACM , 41 (5): 960–981, doi : 10.1145/185675.306789 , ISSN 0004-5411 , S2CID 9021065 .
Раз, побежал ; SAFRA, SHMUEL (1997), «Суб-консервированный тест с низкой степенью, обеспечиваемая по ошибкам, и субсинант-погрешность PCP-характеристики NP», Stoc '97: Материалы двадцати девятого годового симпозиума ACM по теории теории Computing , ACM, с. 475–484, ISBN 978-0-89791-888-6 .
Dinur, irit ; Steurer, David (2013), «Аналитический подход к параллельному повторению», Stoc '14: Материалы сорока шестой годовой симпозиум ACM по теории вычислений , ACM, стр. 624–633 .
Вазирани, Виджай В. (2001), Алгоритмы приближения (PDF) , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65367-7
Корте, Бернхард ; Vygen, Jens (2012), Комбинаторная оптимизация: теория и алгоритмы (5 Ed.), Springer, ISBN 978-3-642-24487-2
Кардосо, Нуно; Abreu, Rui (2014), «Эффективный распределенный алгоритм для вычисления минимальных наборов ударов» (PDF) , Материалы 25 -го международного семинара по принципам диагноза , Грац, Австрия, DOI : 10.5281/Zenodo.10037 {{citation}}: CS1 Maint: местоположение отсутствует издатель ( ссылка )
Dinur, irit ; Гурусвами, Венкатесан ; Хот, Субхаш ; REGEV, ODED (2003), новый многослойный PCP и твердость крышки вершин с гиперграфом , Ассоциация вычислительной техники, стр. 595–601, doi : 10.1145/780542.780629 , ISBN 1581136749
Хот, Субхаш ; REGEV, ODED (2008), крышка вершины может быть трудно приблизить к 2- $\epsilon$ , Журнал компьютерных и системных наук, с. 335–349, doi : 10.1016/j.jcss.2007.06.019
Trevisan, Luca (2001), «Результаты неаппксимированности для задач оптимизации в случае ограниченной степени» , Труды тридцати третьего годового симпозиума ACM по теории вычислений , Ассоциация вычислительной техники, стр. 453–461, doi : 10.1145/ 380752.380839 , ISBN 1-58113-349-9

Внешние ссылки

[FOOTNOTEKorteVygen2012414-1] Kort & Vygen 2012 , с.

[2] Вазирани (2001 , стр. 15)

[3] Вазирани (2001 , стр. 108)

[4] Вазирани (2001 , с. 110–112)

[5] Нильсен, Фрэнк (2000-09-06). «Быстрое удары коробок в высоких размерах» (PDF) . Теоретическая информатика . 246 (1): 53–72. doi : 10.1016/s0304-3975 (98) 00336-3 . ISSN 0304-3975 .

[6] Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Stein, Clifford (2009) [1990], «Упражнение 35.3-3», Введение в алгоритмы (3-е изд.), MIT Press и McGraw-Hill, p. 1122, ISBN 0-262-03384-4

[7] Chvatal, V. (август 1979 г.), «Жадная эвристика для задачи с установкой», Математика операционных исследований , 4 (3): 233–235, doi : 10.1287/moor.4.3.233 , JSTOR 3689577

[8] Karpinski & Zelikovsky 1998

[9] Славик Петр. Тесный анализ жадного алгоритма для установленного покрытия . Stoc'96, стр. 435-441, doi : 10.1145/237814.237991

[10] Вазирани (2001 , с. 118–119)

[11] Министерство (2001 , глава 14)

[12] Информация., Национальные лаборатории Sandia. Соединенные Штаты. Департамент энергетики. Соединенные Штаты. Департамент энергетики. Управление научных и технических (1999). На красно-сине-наборной проблеме . Соединенные Штаты. Департамент энергии. OCLC 68396743 .

[13] Gainer-Dewar, Andrew; Vera-Licona, Paola (2017), «Минимальная задача генерации набора ударов: алгоритмы и вычисления», Siam Journal по дискретной математике , 31 (1): 63–100, Arxiv : 1601.02939 , doi : 10.1137/15M1055024 , г-н 3590650 , DOI: 10.1137/15M1055024, г-н S2CID 9240467

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]