Jump to content

Биномиальный коэффициент Гаусса

(Перенаправлено из полинома Гаусса )

В математике гауссовы биномиальные коэффициенты (также называемые гауссовскими коэффициентами , гауссовыми полиномами или q -биномиальными коэффициентами ) являются q -аналогами биномиальных коэффициентов . Биномиальный коэффициент Гаусса, записанный как или , представляет собой многочлен от q с целыми коэффициентами, значение которого, когда q установлено в степень простого числа, подсчитывает количество подпространств размерности k в векторном пространстве размерности n над , конечное поле с q элементами; т. е. это количество точек в конечном грассманиане .

Определение

[ редактировать ]

Биномиальные коэффициенты Гаусса определяются следующим образом: [1]

где m и r — целые неотрицательные числа. Если r > m , это значение равно 0. Для r = 0 значение равно 1, поскольку и числитель, и знаменатель являются пустыми произведениями .

Хотя формула на первый взгляд кажется рациональной функцией , на самом деле она представляет собой полином, поскольку деление точно по Z [ q ]

Все множители в числителе и знаменателе делятся на 1 − q , а частное — это q -число :

Разделение этих факторов дает эквивалентную формулу

В терминах q- факториала , формулу можно записать как

Подставив q = 1 в дает обычный биномиальный коэффициент .

Биномиальный коэффициент Гаусса имеет конечные значения: :

Комбинаторные описания

[ редактировать ]

Инверсии

[ редактировать ]

Одно комбинаторное описание гауссовых биномиальных коэффициентов включает инверсии .

Обыкновенный биномиальный коэффициент подсчитывает r - комбинации , выбранные из m -множества элементов. Если принять эти m элементов за различные позиции символов в слове длины m , то каждая r -комбинация соответствует слову длины m, использующему алфавит из двух букв, скажем, {0,1}, с r копиями символов. буква 1 (обозначающая позиции в выбранной комбинации) и m r буквы 0 (для остальных позиций).

Так, например, слова, в которых используются 0 и 1 , являются .

Чтобы получить биномиальный коэффициент Гаусса каждому слову соответствует фактор q д , где d — количество инверсий слова, где в данном случае инверсия — это пара позиций, где левая часть пары содержит букву 1 , а правая позиция — букву 0 .

В приведенном выше примере есть одно слово с 0 инверсиями, , одно слово с 1 обращением, , два слова с 2 инверсиями, , , одно слово с 3 обращениями, , и одно слово с 4 инверсиями, . Это также количество сдвигов влево на 1 с от исходного положения.

Они соответствуют коэффициентам в .

Другой способ убедиться в этом — связать каждое слово с путем через прямоугольную сетку высотой r и шириной m r , идущим от нижнего левого угла к верхнему правому углу. Путь делает шаг вправо для каждого 0 и шаг вверх для каждого 1 . Инверсия меняет направления шага (вправо+вверх становится вверх+вправо и наоборот), поэтому количество инверсий равно площади под дорожкой.

Шары в контейнеры

[ редактировать ]

Позволять быть числом способов броска неразличимые шарики в неразличимые контейнеры, где каждый контейнер может содержать до шарики. Биномиальный коэффициент Гаусса можно использовать для характеристики . Действительно,

где обозначает коэффициент в полиномиальном (см. также раздел «Приложения» ниже).

Характеристики

[ редактировать ]

Отражение

[ редактировать ]

Как и обычные биномиальные коэффициенты, гауссовы биномиальные коэффициенты центрально-симметричны, т. е. инвариантны относительно отражения. :

В частности,

Предел при q = 1

[ редактировать ]

Оценка гауссовского биномиального коэффициента при q = 1 равна

т.е. сумма коэффициентов дает соответствующее биномиальное значение.

Степень полинома

[ редактировать ]

Степень является .

q тождества

[ редактировать ]

Аналоги личности Паскаля

[ редактировать ]

Аналогами тождества Паскаля для биномиальных коэффициентов Гаусса являются: [2]

и

Когда , оба они дают обычное биномиальное тождество. Мы можем видеть это как , оба уравнения остаются в силе.

) вычислять гауссовы биномиальные коэффициенты, Первый аналог Паскаля позволяет рекурсивно (по отношению к m используя начальные значения.

а также показывает, что гауссовы биномиальные коэффициенты действительно являются полиномами (по q ).

Второй аналог Паскаля следует из первого с помощью замены и инвариантность гауссовских биномиальных коэффициентов при отражении .

Эти тождества имеют естественную интерпретацию в терминах линейной алгебры. Напомним, что считает r -мерные подпространства , и пусть быть проекцией с одномерным нулевым пространством . Первое тождество возникает из биекции, которая принимает в подпространство ; в случае , пространство является r -мерной, и мы также должны отслеживать линейную функцию чей график ; но в случае , пространство является ( r −1)-мерным, и мы можем восстановить без какой-либо дополнительной информации. Второе тождество имеет аналогичную интерпретацию, принимая к для ( m −1)-мерного пространства , снова разбиваясь на два случая.

Доказательства аналогов

[ редактировать ]

Оба аналога можно доказать, заметив сначала, что из определения , у нас есть:

( 1 )
( 2 )
( 3 )

Как

Уравнение ( 1 ) становится:

и замена уравнения ( 3 ) дает первый аналог.

Аналогичный процесс с использованием

вместо этого дает второй аналог.

q -биномиальная теорема

[ редактировать ]

Существует аналог биномиальной теоремы для q -биномиальных коэффициентов, известный как биномиальная теорема Коши:

Как и обычная биномиальная теорема, эта формула имеет множество обобщений и расширений; один из них, соответствующий обобщенной биномиальной теореме Ньютона для отрицательных степеней, - это

В пределе , эти формулы дают

и

.

Параметр дает производящие функции для различных и любых частей соответственно. (См. также Основные гипергеометрические ряды .)

Центральная q-биномиальная идентичность

[ редактировать ]

С обычными биномиальными коэффициентами мы имеем:

С q-биномиальными коэффициентами аналог:

Приложения

[ редактировать ]

Первоначально Гаусс использовал биномиальные коэффициенты Гаусса при определении знака квадратичной суммы Гаусса . [3]

Гауссовы биномиальные коэффициенты встречаются при подсчете симметричных многочленов и в теории разбиений . Коэффициент q р в

— это количество разделов r с m или меньшим количеством частей, каждый из которых меньше или равен n . Эквивалентно, это также количество разделов r с n или меньшим количеством частей, каждая из которых меньше или равна m .

Гауссовы биномиальные коэффициенты также играют важную роль в перечислительной теории проективных пространств, определенных над конечным полем. В частности, для любого конечного поля F q с q элементами гауссовский биномиальный коэффициент

подсчитывает количество k -мерных векторных подпространств n -мерного векторного пространства над F q ( грассманиан ). При разложении в виде многочлена от q получается хорошо известное разложение грассманиана на ячейки Шуберта. Например, биномиальный коэффициент Гаусса

— количество одномерных подпространств в ( F q ) н (эквивалентно количеству точек в соответствующем проективном пространстве ). Более того, когда q равно 1 (соответственно -1), гауссов биномиальный коэффициент дает эйлерову характеристику соответствующего комплексного (соответственно вещественного) грассманиана.

Число k -мерных аффинных подпространств F q н равно

.

Это позволяет по-другому интерпретировать тождество

как подсчет ( r - 1)-мерных подпространств ( m - 1)-мерного проективного пространства путем фиксации гиперплоскости, подсчета таких подпространств, содержащихся в этой гиперплоскости, а затем подсчета подпространств, не содержащихся в гиперплоскости; эти последние подпространства находятся в взаимно однозначном соответствии с ( r − 1)-мерными аффинными подпространствами пространства, полученными в результате рассмотрения этой фиксированной гиперплоскости как гиперплоскости на бесконечности.

В соглашениях, общепринятых в приложениях к квантовым группам , используется несколько иное определение; квантовый биномиальный коэффициент есть

.

Эта версия квантового биномиального коэффициента симметрична при замене и .

См. также

[ редактировать ]
  1. Мухин Евгений, глава 3.
  2. Мухин Евгений, глава 3.
  3. ^ Гаусс, Карл Фридрих (1808). «Суммирование некоторых единичных рядов» (на латыни). {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1f763b4d35be8d3f6dd1887a3c063c6e__1704483060
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/1f/6e/1f763b4d35be8d3f6dd1887a3c063c6e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Gaussian binomial coefficient - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)