Биномиальный коэффициент Гаусса
Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( Март 2019 г. ) |
В математике гауссовы биномиальные коэффициенты (также называемые гауссовскими коэффициентами , гауссовыми полиномами или q -биномиальными коэффициентами ) являются q -аналогами биномиальных коэффициентов . Биномиальный коэффициент Гаусса, записанный как или , представляет собой многочлен от q с целыми коэффициентами, значение которого, когда q установлено в степень простого числа, подсчитывает количество подпространств размерности k в векторном пространстве размерности n над , конечное поле с q элементами; т. е. это количество точек в конечном грассманиане .
Определение
[ редактировать ]Биномиальные коэффициенты Гаусса определяются следующим образом: [1]
где m и r — целые неотрицательные числа. Если r > m , это значение равно 0. Для r = 0 значение равно 1, поскольку и числитель, и знаменатель являются пустыми произведениями .
Хотя формула на первый взгляд кажется рациональной функцией , на самом деле она представляет собой полином, поскольку деление точно по Z [ q ]
Все множители в числителе и знаменателе делятся на 1 − q , а частное — это q -число :
Разделение этих факторов дает эквивалентную формулу
В терминах q- факториала , формулу можно записать как
Подставив q = 1 в дает обычный биномиальный коэффициент .
Биномиальный коэффициент Гаусса имеет конечные значения: :
Примеры
[ редактировать ]Комбинаторные описания
[ редактировать ]Инверсии
[ редактировать ]Одно комбинаторное описание гауссовых биномиальных коэффициентов включает инверсии .
Обыкновенный биномиальный коэффициент подсчитывает r - комбинации , выбранные из m -множества элементов. Если принять эти m элементов за различные позиции символов в слове длины m , то каждая r -комбинация соответствует слову длины m, использующему алфавит из двух букв, скажем, {0,1}, с r копиями символов. буква 1 (обозначающая позиции в выбранной комбинации) и m − r буквы 0 (для остальных позиций).
Так, например, слова, в которых используются 0 и 1 , являются .
Чтобы получить биномиальный коэффициент Гаусса каждому слову соответствует фактор q д , где d — количество инверсий слова, где в данном случае инверсия — это пара позиций, где левая часть пары содержит букву 1 , а правая позиция — букву 0 .
В приведенном выше примере есть одно слово с 0 инверсиями, , одно слово с 1 обращением, , два слова с 2 инверсиями, , , одно слово с 3 обращениями, , и одно слово с 4 инверсиями, . Это также количество сдвигов влево на 1 с от исходного положения.
Они соответствуют коэффициентам в .
Другой способ убедиться в этом — связать каждое слово с путем через прямоугольную сетку высотой r и шириной m − r , идущим от нижнего левого угла к верхнему правому углу. Путь делает шаг вправо для каждого 0 и шаг вверх для каждого 1 . Инверсия меняет направления шага (вправо+вверх становится вверх+вправо и наоборот), поэтому количество инверсий равно площади под дорожкой.
Шары в контейнеры
[ редактировать ]Позволять быть числом способов броска неразличимые шарики в неразличимые контейнеры, где каждый контейнер может содержать до шарики. Биномиальный коэффициент Гаусса можно использовать для характеристики . Действительно,
где обозначает коэффициент в полиномиальном (см. также раздел «Приложения» ниже).
Характеристики
[ редактировать ]Отражение
[ редактировать ]Как и обычные биномиальные коэффициенты, гауссовы биномиальные коэффициенты центрально-симметричны, т. е. инвариантны относительно отражения. :
В частности,
Предел при q = 1
[ редактировать ]Оценка гауссовского биномиального коэффициента при q = 1 равна
т.е. сумма коэффициентов дает соответствующее биномиальное значение.
Степень полинома
[ редактировать ]Степень является .
q тождества
[ редактировать ]Аналоги личности Паскаля
[ редактировать ]Аналогами тождества Паскаля для биномиальных коэффициентов Гаусса являются: [2]
и
Когда , оба они дают обычное биномиальное тождество. Мы можем видеть это как , оба уравнения остаются в силе.
) вычислять гауссовы биномиальные коэффициенты, Первый аналог Паскаля позволяет рекурсивно (по отношению к m используя начальные значения.
а также показывает, что гауссовы биномиальные коэффициенты действительно являются полиномами (по q ).
Второй аналог Паскаля следует из первого с помощью замены и инвариантность гауссовских биномиальных коэффициентов при отражении .
Эти тождества имеют естественную интерпретацию в терминах линейной алгебры. Напомним, что считает r -мерные подпространства , и пусть быть проекцией с одномерным нулевым пространством . Первое тождество возникает из биекции, которая принимает в подпространство ; в случае , пространство является r -мерной, и мы также должны отслеживать линейную функцию чей график ; но в случае , пространство является ( r −1)-мерным, и мы можем восстановить без какой-либо дополнительной информации. Второе тождество имеет аналогичную интерпретацию, принимая к для ( m −1)-мерного пространства , снова разбиваясь на два случая.
Доказательства аналогов
[ редактировать ]Оба аналога можно доказать, заметив сначала, что из определения , у нас есть:
( 1 ) |
( 2 ) |
( 3 ) |
Как
Уравнение ( 1 ) становится:
и замена уравнения ( 3 ) дает первый аналог.
Аналогичный процесс с использованием
вместо этого дает второй аналог.
q -биномиальная теорема
[ редактировать ]Существует аналог биномиальной теоремы для q -биномиальных коэффициентов, известный как биномиальная теорема Коши:
Как и обычная биномиальная теорема, эта формула имеет множество обобщений и расширений; один из них, соответствующий обобщенной биномиальной теореме Ньютона для отрицательных степеней, - это
В пределе , эти формулы дают
и
- .
Параметр дает производящие функции для различных и любых частей соответственно. (См. также Основные гипергеометрические ряды .)
Центральная q-биномиальная идентичность
[ редактировать ]С обычными биномиальными коэффициентами мы имеем:
С q-биномиальными коэффициентами аналог:
Приложения
[ редактировать ]Первоначально Гаусс использовал биномиальные коэффициенты Гаусса при определении знака квадратичной суммы Гаусса . [3]
Гауссовы биномиальные коэффициенты встречаются при подсчете симметричных многочленов и в теории разбиений . Коэффициент q р в
— это количество разделов r с m или меньшим количеством частей, каждый из которых меньше или равен n . Эквивалентно, это также количество разделов r с n или меньшим количеством частей, каждая из которых меньше или равна m .
Гауссовы биномиальные коэффициенты также играют важную роль в перечислительной теории проективных пространств, определенных над конечным полем. В частности, для любого конечного поля F q с q элементами гауссовский биномиальный коэффициент
подсчитывает количество k -мерных векторных подпространств n -мерного векторного пространства над F q ( грассманиан ). При разложении в виде многочлена от q получается хорошо известное разложение грассманиана на ячейки Шуберта. Например, биномиальный коэффициент Гаусса
— количество одномерных подпространств в ( F q ) н (эквивалентно количеству точек в соответствующем проективном пространстве ). Более того, когда q равно 1 (соответственно -1), гауссов биномиальный коэффициент дает эйлерову характеристику соответствующего комплексного (соответственно вещественного) грассманиана.
Число k -мерных аффинных подпространств F q н равно
- .
Это позволяет по-другому интерпретировать тождество
как подсчет ( r - 1)-мерных подпространств ( m - 1)-мерного проективного пространства путем фиксации гиперплоскости, подсчета таких подпространств, содержащихся в этой гиперплоскости, а затем подсчета подпространств, не содержащихся в гиперплоскости; эти последние подпространства находятся в взаимно однозначном соответствии с ( r − 1)-мерными аффинными подпространствами пространства, полученными в результате рассмотрения этой фиксированной гиперплоскости как гиперплоскости на бесконечности.
В соглашениях, общепринятых в приложениях к квантовым группам , используется несколько иное определение; квантовый биномиальный коэффициент есть
- .
Эта версия квантового биномиального коэффициента симметрична при замене и .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Мухин Евгений, глава 3.
- ↑ Мухин Евгений, глава 3.
- ^ Гаусс, Карл Фридрих (1808). «Суммирование некоторых единичных рядов» (на латыни).
{{cite journal}}
: Для цитирования журнала требуется|journal=
( помощь )
- Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
- Мухин, Евгений. «Симметричные полиномы и разбиения» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. (без даты, 2004 г. или ранее).
- Ратнадха Колхаткар, дзета-функция сортов Грассмана (от 26 января 2004 г.)
- Вайсштейн, Эрик В. «q-биномиальный коэффициент» . Математический мир .
- Гулд, Генри (1969). «Скобочная функция и обобщенные биномиальные коэффициенты Фонтена-Уорда с применением к фибономиальным коэффициентам». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 7 : 23–40. МР 0242691 .
- Александерсон, GL (1974). «Аналог Фибоначчи биномиальных коэффициентов Гаусса». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 12 : 129–132. МР 0354537 .
- Эндрюс, Джордж Э. (1974). «Приложения основных гипергеометрических функций». СИАМ преп . 16 (4): 441–484. дои : 10.1137/1016081 . JSTOR 2028690 . МР 0352557 .
- Борвейн, Питер Б. (1988). «Аппроксимации Паде для q-элементарных функций». Построить. Прибл . 4 (1): 391–402. дои : 10.1007/BF02075469 . МР 0956175 . S2CID 124884851 .
- Конвалина, Джон (1998). «Обобщенные биномиальные коэффициенты и проблема подмножества-подпространства» . Адв. Прил. Математика . 21 (2): 228–240. дои : 10.1006/aama.1998.0598 . МР 1634713 .
- Ди Буккьянико, А. (1999). «Комбинаторика, компьютерная алгебра и тест Уилкоксона-Манна-Уитни». J.Stat. План. Инф . 79 (2): 349–364. CiteSeerX 10.1.1.11.7713 . дои : 10.1016/S0378-3758(98)00261-4 .
- Конвалина, Джон (2000). «Единая интерпретация биномиальных коэффициентов, чисел Стирлинга и коэффициентов Гаусса». амер. Математика. Ежемесячно . 107 (10): 901–910. дои : 10.2307/2695583 . JSTOR 2695583 . МР 1806919 .
- Купершмидт, Борис А. (2000). «Бином q-Ньютона: от Эйлера до Гаусса». Дж. Нелинейная математика. Физ . 7 (2): 244–262. arXiv : math/0004187 . Бибкод : 2000JNMP....7..244K . дои : 10.2991/jnmp.2000.7.2.11 . МР 1763640 . S2CID 125273424 .
- Кон, Генри (2004). «Проективная геометрия над F 1 и биномиальные коэффициенты Гаусса» . амер. Математика. Ежемесячно . 111 (6): 487–495. дои : 10.2307/4145067 . JSTOR 4145067 . МР 2076581 .
- Ким, Т. (2007). «q-Расширение формулы Эйлера и тригонометрические функции». Расс. Дж. Математика. Физ . 14 (3): –275–278. Бибкод : 2007RJMP...14..275K . дои : 10.1134/S1061920807030041 . МР 2341775 . S2CID 122865930 .
- Ким, Т. (2008). «q-числа Бернулли и полиномы, связанные с биномиальными коэффициентами Гаусса». Расс. Дж. Математика. Физ . 15 (1): 51–57. Бибкод : 2008RJMP...15...51K . дои : 10.1134/S1061920808010068 . МР 2390694 . S2CID 122966597 .
- Корчино, Роберто Б. (2008). «О p,q-биномиальных коэффициентах». Целые числа . 8 : #A29. МР 2425627 .
- Амаякян, Геворг. «Рекурсивная формула, связанная с функцией Мебиуса» (PDF) . (2009).