Нелинейное ожидание

В теории вероятностей нелинейное ожидание является нелинейным обобщением ожидания . Нелинейные ожидания полезны в теории полезности , поскольку они более точно соответствуют человеческому поведению, чем традиционные ожидания. ^[1] Нелинейные ожидания обычно используются при оценке рисков в условиях неопределенности. Как правило, нелинейные ожидания делятся на сублинейные и суперлинейные ожидания в зависимости от аддитивных свойств данных наборов. Большая часть исследований нелинейного ожидания принадлежит работам математиков за последние два десятилетия.

Определение

Функциональный $\mathbb {E} :{\mathcal {H}}\to \mathbb {R}$ (где ${\mathcal {H}}$ представляет собой векторную решетку на заданном множестве $\Omega$ ) является нелинейным математическим ожиданием, если оно удовлетворяет: ^[2]^[3]^[4]

Монотонность: если $X,Y\in {\mathcal {H}}$ такой, что $X\geq Y$ затем $\mathbb {E} [X]\geq \mathbb {E} [Y]$
Сохранение констант: если $c\in \mathbb {R}$ затем $\mathbb {E} [c]=c$

Полное рассмотрение данного набора, линейного пространства для функций, данного этого набора, и значения нелинейного ожидания называется пространством нелинейного ожидания.

Часто желательны и другие свойства, например выпуклость , субаддитивность , положительная однородность и трансляция констант. ^[2] Чтобы нелинейное ожидание было далее классифицировано как сублинейное ожидание, также должны быть выполнены следующие два условия:

Субаддитивность: для $X,Y\in {\mathcal {H}}$ затем $\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [Y]\geq \mathbb {E} [X+Y]$
Положительная однородность: для $\lambda \geq 0$ затем $\mathbb {E} [\lambda X]=\lambda \mathbb {E} [X]$

Чтобы нелинейное ожидание было классифицировано как суперлинейное ожидание, приведенное выше условие субаддитивности заменяется условием: ^[5]

Супераддитивность : для $X,Y\in {\mathcal {H}}$ затем $\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [Y]\leq \mathbb {E} [X+Y]$

Примеры

Ожидание Шоке : субаддитивный или супераддитивный интеграл, который используется в обработке изображений и теории поведенческих решений.
g-ожидание через нелинейные BSDE: часто используется для моделирования неопределенности финансового дрейфа. ^[6]
Если $\rho$ это мера риска тогда $\mathbb {E} [X]:=\rho (-X)$ определяет нелинейное математическое ожидание.
Цепи Маркова : для прогнозирования событий, подверженных неопределенностям модели. ^[7]

Ссылки

^ Пэн, Шиге (2017). «Теория, методы и значение нелинейной теории ожиданий» . Scientia Sinica Mathematica . 47 (10): 1223–1254. дои : 10.1360/N012016-00209 . S2CID 125094517 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Пэн, Шиге (2006). «G-ожидание, G-броуновское движение и связанное с ним стохастическое исчисление типа Ито». Абельские симпозиумы . 2 . Спрингер-Верлаг. arXiv : math/0601035 . Бибкод : 2006math......1035P .
^ Пэн, Шиге (2004). «Нелинейные ожидания, нелинейные оценки и меры риска». Стохастические методы в финансах (PDF) . Конспект лекций по математике. Том. 1856. стр. 165–138. дои : 10.1007/978-3-540-44644-6_4 . ISBN 978-3-540-22953-7 . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 года . Проверено 9 августа 2012 г.
^ Пэн, Шиге (2019). Нелинейные ожидания и стохастическое исчисление в условиях неопределенности . Берлин, Гейдельберг: Springer. дои : 10.1007/978-3-662-59903-7 . ISBN 978-3-662-59902-0 .
^ Молчанов Илья; Мюлеманн, Аня (01 января 2021 г.). «Нелинейные ожидания случайных наборов» . Финансы и стохастика . 25 (1): 5–41. arXiv : 1903.04901 . дои : 10.1007/s00780-020-00442-3 . ISSN 1432-1122 . S2CID 254080636 .
^ Чен, Цзэнцзин; Эпштейн, Ларри (2002). «Неоднозначность, риск и доходность активов в непрерывном времени» . Эконометрика . 70 (4): 1403–1443. дои : 10.1111/1468-0262.00337 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 3082003 .
^ Нендель, Макс (2021). «Цепи Маркова при нелинейном математическом ожидании» . Математические финансы . 31 (1): 474–507. arXiv : 1803.03695 . дои : 10.1111/mafi.12289 . ISSN 1467-9965 . S2CID 52064327 .

[1] Пэн, Шиге (2017). «Теория, методы и значение нелинейной теории ожиданий» . Scientia Sinica Mathematica . 47 (10): 1223–1254. дои : 10.1360/N012016-00209 . S2CID 125094517 .

[Peng-2] Перейти обратно: ^а ^б Пэн, Шиге (2006). «G-ожидание, G-броуновское движение и связанное с ним стохастическое исчисление типа Ито». Абельские симпозиумы . 2 . Спрингер-Верлаг. arXiv : math/0601035 . Бибкод : 2006math......1035P .

[3] Пэн, Шиге (2004). «Нелинейные ожидания, нелинейные оценки и меры риска». Стохастические методы в финансах (PDF) . Конспект лекций по математике. Том. 1856. стр. 165–138. дои : 10.1007/978-3-540-44644-6_4 . ISBN 978-3-540-22953-7 . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 года . Проверено 9 августа 2012 г.

[4] Пэн, Шиге (2019). Нелинейные ожидания и стохастическое исчисление в условиях неопределенности . Берлин, Гейдельберг: Springer. дои : 10.1007/978-3-662-59903-7 . ISBN 978-3-662-59902-0 .

[5] Молчанов Илья; Мюлеманн, Аня (01 января 2021 г.). «Нелинейные ожидания случайных наборов» . Финансы и стохастика . 25 (1): 5–41. arXiv : 1903.04901 . дои : 10.1007/s00780-020-00442-3 . ISSN 1432-1122 . S2CID 254080636 .

[6] Чен, Цзэнцзин; Эпштейн, Ларри (2002). «Неоднозначность, риск и доходность активов в непрерывном времени» . Эконометрика . 70 (4): 1403–1443. дои : 10.1111/1468-0262.00337 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 3082003 .

[7] Нендель, Макс (2021). «Цепи Маркова при нелинейном математическом ожидании» . Математические финансы . 31 (1): 474–507. arXiv : 1803.03695 . дои : 10.1111/mafi.12289 . ISSN 1467-9965 . S2CID 52064327 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]