Геометрия Даулинга

В комбинаторной математике геометрия Даулинга , названная в честь Томаса А. Даулинга, представляет собой матроид, связанный с группой . Для каждой группы существует геометрия Даулинга каждого ранга. Если ранг не ниже 3, геометрия Даулинга однозначно определяет группу. Геометрии Даулинга играют роль в теории матроидов как универсальные объекты (Кан и Кунг, 1982); в этом отношении они аналогичны проективным геометриям , но основаны на группах, а не на полях .

Решетка Даулинга — это геометрическая решетка , плоских поверхностей связанная с геометрией Даулинга. Решетка и геометрия математически эквивалентны: знание одного определяет другое. Решетки Даулинга и, как следствие, геометрии Даулинга были введены Даулингом (1973a,b).

Решетку Даулинга или геометрию ранга группы G часто обозначают Qn _n ( G ).

Оригинальные определения

В своей первой статье (1973a) Доулинг определил решетку Даулинга ранга n мультипликативной группы конечного поля F . Это набор всех этих подпространств векторного пространства F ^н которые порождены подмножествами множества E , состоящего из векторов не более чем с двумя ненулевыми координатами. Соответствующая геометрия Даулинга представляет собой набор одномерных векторных подпространств, порожденных элементами E .

В своей второй статье (1973b) Доулинг дал внутреннее определение решетки Даулинга ранга n любой конечной группы G . Пусть S — множество {1,..., n }. Множество с G - меткой ( T , α это множество T вместе с функцией α : T → G. ) — Два G множества, помеченных , ( T , α ) и ( T , β ), эквивалентны , если существует элемент группы g такой, что β = gα . Класс эквивалентности обозначается [ T , α ].Частичное B G -разбиение S k — это множество γ = {[ B ₁ , α ₁ ], ..., [ , ... _, α k _] } классов эквивалентности G -меченых множеств такое, что B ₁ , B _k — непустые подмножества S , попарно непересекающиеся. ( k может равняться 0.) Частичный G -разбиение γ называется ≤ другого, γ *, если

• каждый блок второго представляет собой объединение блоков первого, а
• для каждого B _i, содержащегося в B * _j , α _i эквивалентно ограничению α * _j на область B _i .

дает частичный порядок множества всех частичных G -разбиений S. Это Полученное частично упорядоченное множество представляет собой решетку Даулинга Q _n ( G ).

Определения действительны, даже если F или G бесконечны, хотя Доулинг упоминал только конечные поля и группы.

Графические определения

Графическое определение было затем дано Дубилетом, Ротой и Стэнли (1972). Мы даем немного более простое (но по сути эквивалентное) графическое определение Заславского (1991), выраженное в терминах графиков усиления .

Возьмите n вершин и между каждой парой вершин v и w возьмите набор | г | параллельные ребра помеченные каждым из элементов группы G. , Метки ориентированы таким образом, что если метка в направлении от v до w является элементом группы g , то метка того же ребра в противоположном направлении, от w до v , равна g. ⁻¹ . Таким образом, метка ребра зависит от направления ребра; такие метки называются выигрышами . Также добавьте к каждой вершине цикл, коэффициент усиления которого равен любому значению, отличному от 1. (1 — это элемент идентификации группы .) Это дает граф, который называется GK _n. ^тот (обратите внимание на приподнятый кружок). (Для тривиальной группы необходимо немного другое определение; добавляемые ребра должны быть полуребрами .)

Тогда цикл на графике имеет выигрыш. Цикл представляет собой последовательность ребер e ₁ e ₂ ··· e _k . Предположим, что выигрыши этих ребер в фиксированном направлении вокруг цикла равны g ₁ , g ₂ , ..., g _k . Тогда выигрыш цикла равен произведению g ₁ g ₂ ··· g _k . Значение этого усиления не совсем четко определено, поскольку оно зависит от направления, выбранного для цикла и от того, какое из них называется «первым» краем цикла. От этих выборов не зависит ответ на следующий вопрос: равен ли выигрыш 1 или нет? Если он равен 1 при одном наборе выборов, то он также равен 1 при всех наборах выборов.

Чтобы определить геометрию Даулинга, мы задаем схемы (минимальные зависимые множества). Схемы матроида

• циклы, коэффициент усиления которых равен 1,
• пары циклов, у которых оба коэффициента усиления не равны 1 и которые пересекаются только в одной вершине и ни в чем другом, и
• тета -графики, в которых ни один из трех циклов не имеет коэффициент усиления, равный 1.

Таким образом, геометрия Даулинга Q _n ( G ) представляет собой матроид фрейма (или матроид смещения) графа усиления GK _n ^тот (поднятый кружок означает наличие петель). Другие, эквивалентные определения, описаны в статье о графиках усиления .

Характеристический полином

Одна из причин интереса к решеткам Даулинга заключается в том, что характеристический полином очень прост. Если L — решетка Даулинга ранга n конечной группы G, имеющей m элементов, то

$p_{L}(y)=(y-1)(y-m-1)\cdots (y-[n-1]m-1),$

исключительно простая формула для любой геометрической решетки.

Обобщения

связана также геометрия Даулинга только ранга 3 С каждой квазигруппой ; см. Даулинг (1973b). Это не распространяется прямым путем на более высокие ранги. Существует обобщение Заславского (2012), касающееся n -арных квазигрупп.

Ссылки

• Питер Дубилет, Джан-Карло Рота и Ричард П. Стэнли (1972), Об основах комбинаторной теории (VI): Идея производящей функции. В: Труды шестого симпозиума Беркли по математической статистике и теории вероятностей (Беркли, Калифорния, 1970/71), Vol. II: Теория вероятностей , стр. \ 267–318. Калифорнийский университет Press, Беркли, Калифорния, 1972.
• Т. А. Даулинг (1973а), q -аналог решетки разбиения. Глава 11 в: Дж. Н. Шривастава и др., ред., Обзор комбинаторной теории (Труды международного симпозиума, Форт-Коллинз, Колорадо, 1971), стр. 101–115. Северная Голландия, Амстердам, 1973 год.
• Т. А. Даулинг (1973b), Класс геометрических решеток, основанный на конечных группах. Журнал комбинаторной теории, серия B , Vol. 14 (1973), стр. 61–86.
• Кан, Джефф, и Кунг, Джозеф П.С. (1982), Разновидности комбинаторной геометрии. Труды Американского математического общества , Vol. 271, стр. 485–499.
• Томас Заславский (1991), Смещенные графики. II. Три матроида. Журнал комбинаторной теории, серия B , Vol. 51, стр. 46–72.
• Томас Заславский (2012), Ассоциативность в мультитарных квазигруппах: путь смещенных расширений. « Математические уравнения », Том. 83, нет. 1, стр. 1–66.