Обратная гамма-функция

Не путать с обратным гамма-распределением или обратной гамма-функцией .

График обратной гамма-функции

График обратной гамма-функции в комплексной плоскости

В математике обратная гамма-функция $\Gamma ^{-1}(x)$ является обратной функцией функции гамма- . Другими словами, $y=\Gamma ^{-1}(x)$ в любое время ${\textstyle \Gamma (y)=x}$. Например, $\Gamma ^{-1}(24)=5$. Обычно обратная гамма-функция относится к главной ветви с областью определения на действительном интервале $\left[\beta ,+\infty \right)$ и изображение на реальном интервале $\left[\alpha ,+\infty \right)$, где $\beta =0.8856031\ldots$ - минимальное значение гамма-функции на положительной действительной оси и $\alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots$ это местоположение этого минимума.

Определение

Обратная гамма-функция может быть определена следующим интегральным представлением $$\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)\,,$$где $\mu (t)$ является борелевской мерой такой, что $$\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty \,,$$ и $a$ и $b$ действительные числа с $b\geqq 0$.

Приближение

Чтобы вычислить ветви обратной гамма-функции, можно сначала вычислить Тейлора ряд $\Gamma (x)$ около $\alpha$. Затем ряд можно усечь и обратить, что дает последовательно лучшие приближения к $\Gamma ^{-1}(x)$. Например, у нас есть квадратичное приближение:

$$\Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.$$

Обратная гамма-функция также имеет следующую асимптотическую формулу $$\Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}\,,$$где $W_{0}(x)$ — Ламберта W. функция Формула находится путем обращения приближения Стирлинга , поэтому ее также можно разложить в асимптотический ряд.

Расширение серии

Чтобы получить разложение обратной гамма-функции в ряд, можно сначала вычислить разложение обратной гамма-функции в ряд. ${\frac {1}{\Gamma (x)}}$ возле полюсов в отрицательных целых числах, а затем инвертируйте ряд.

Параметр $z={\frac {1}{x}}$ затем дает для n- й ветви $\Gamma _{n}^{-1}(z)$ обратной гамма-функции ( $n\geq 0$) $$\Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)\,,$$где $\psi ^{(n)}(x)$ – полигамма-функция .