Уравнение Бейтмана

В ядерной физике уравнение Бейтмана представляет собой математическую модель, описывающую содержание и активность в цепочке распада как функцию времени на основе скоростей распада и начального содержания. Модель была сформулирована Эрнестом Резерфордом в 1905 году. аналитическое решение было предложено Гарри Бейтманом в 1910 году.

Если в момент времени t существуют $N_{i}(t)$ атомы изотопа $i$ который распадается на изотоп $i+1$ по курсу $\lambda _{i}$, количество изотопов в k -ступенчатой ​​цепочке распада изменяется как:

${\begin{aligned}{\frac {dN_{1}(t)}{dt}}&=-\lambda _{1}N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i-1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}(t)\end{aligned}}$

(это можно адаптировать для обработки ветвей распада). Хотя это можно решить явно для i = 2, формулы быстро становятся громоздкими для более длинных цепочек. Уравнение Бейтмана — это классическое основное уравнение , в котором скорости перехода разрешены только от одного вида (i) к следующему (i+1), но никогда в обратном смысле (от i+1 к i запрещено).

Бейтман нашел общую явную формулу для сумм, приняв преобразование Лапласа переменных.

$N_{n}(t)=N_{1}(0)\times \left(\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}\right)\times \sum _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda _{i}t}}{\prod \limits _{j=1,j\neq i}^{n}\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)}}$

(его также можно расширить за счет исходных условий, если больше атомов изотопа i поступает извне с постоянной скоростью).

Количественный расчет с использованием функции Бейтмана для плутония-241

Хотя формула Бейтмана может быть реализована в компьютерном коде, если $\lambda _{j}\approx \lambda _{i}$ для некоторой пары изотопов катастрофическое сокращение может привести к вычислительным ошибкам. другие методы, такие как численное интегрирование или матричный экспоненциальный метод. Поэтому также используются

Например, для простого случая цепочки из трех изотопов соответствующее уравнение Бейтмана сводится к

${\begin{aligned}&A\,{\xrightarrow {\lambda _{A}}}\,B\,{\xrightarrow {\lambda _{B}}}\,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}$

Что дает следующую формулу активности изотопа $B$ (заменив $A=\lambda N$)

${\begin{aligned}A_{B}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}A_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}$

См. также

• Гарри Бейтман
• Список уравнений ядерной физики и физики элементарных частиц
• Переходное равновесие
• Светское равновесие
• Фармакокинетика , свободное применение.