Выпуклая функция Шура

В математике выпуклая функция Шура , также известная как S-выпуклая , изотоническая функция и функция, сохраняющая порядок, — это функция $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ это для всех $x,y\in \mathbb {R} ^{d}$ такой, что $x$ мажорируется ​ ​ $y$, у одного это есть $f(x)\leq f(y)$. Выпуклые функции Шура, названные в честь Иссая Шура , используются при изучении мажорирования .

Функция f является «вогнутой по Шуру», если ее отрицательная функция — f является выпуклой по Шуру.

Характеристики

Всякая функция, выпуклая и симметричная (относительно перестановок аргументов), также является выпуклой по Шуру.

Любая выпуклая по Шуру функция симметрична, но не обязательно выпукла.

Если $f$ является (строго) выпуклым по Шуру и $g$ (строго) монотонно возрастает, то $g\circ f$ является (строго) Шур-выпуклым.

Если $g$ — выпуклая функция, определенная на вещественном интервале, то $\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})$ является Шур-выпуклой.

Критерий Шура-Островского

Если f симметричен и все первые частные производные существуют, то f является выпуклой по Шуру тогда и только тогда, когда

$(x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0$ для всех $x\in \mathbb {R} ^{d}$

справедливо для всех 1 ≤ i ≠ j ≤ d .

Примеры

• $f(x)=\min(x)$ является вогнутой по Шуру, в то время как $f(x)=\max(x)$ является Шур-выпуклой. Это видно непосредственно из определения.
• Функция энтропии Шеннона $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ является Шур-вогнутой.
• Энтропийная функция Реньи также является вогнутой по Шуру.
• $x\mapsto \sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ является Шур-выпуклым, если $k\geq 1$, и вогнутая по Шуру, если $k\in (0,1)$.
• Функция $f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}$ является вогнутой по Шуру, если предположить, что все $x_{i}>0$. Точно так же все элементарные симметрические функции являются вогнутыми по Шуру, когда $x_{i}>0$.
• Естественная интерпретация мажорирования состоит в том, что если $x\succ y$ затем $x$ менее распространен, чем $y$. Поэтому естественно задаться вопросом, являются ли статистические меры изменчивости выпуклыми по Шуру. Дисперсия и — стандартное отклонение являются выпуклыми функциями Шура, а медианное абсолютное отклонение нет.
• Пример вероятности: если $X_{1},\dots ,X_{n}$ являются сменными случайными величинами , то функция ${\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}$ является выпуклой по Шуру как функция $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$, предполагая, что ожидания существуют.
• Коэффициент Джини строго выпуклый по Шуру.

См. также

• Квазивыпуклая функция