Последовательность иррациональности

В математике последовательность натуральных чисел a _n называется последовательностью иррациональности , если она обладает тем свойством, что для каждой последовательности x _n положительных целых чисел сумма ряда

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}$

существует (то есть сходится ) и является иррациональным числом . Проблема характеристики последовательностей иррациональности была поставлена ​​Полом Эрдешем и Эрнстом Г. Штраусом , которые первоначально назвали свойство быть последовательностью иррациональности «Свойством P».

Примеры

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки , $2^{2^{n}}$, образуют последовательность иррациональности. Однако, хотя последовательность Сильвестра

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, ...

(в котором каждое слагаемое на единицу больше, чем произведение всех предыдущих слагаемых) также растет в два раза экспоненциально , оно не образует последовательности иррациональности. Для того, чтобы позволить $x_{n}=1$ для всех $n$ дает

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,$

ряд, сходящийся к рациональному числу . Аналогично, факториалы , $n!$, не образуют последовательность иррациональности, поскольку последовательность, заданная формулой $x_{n}=n+2$ для всех $n$ приводит к ряду с рациональной суммой,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1.$

Темпы роста

Чтобы любая последовательность a _n была последовательностью иррациональности, она должна расти с такой скоростью, чтобы

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \log a_{n}}{n}}\geq \log 2$.

Сюда входят последовательности, которые растут со скоростью, превышающей двукратную экспоненциальную скорость, а также некоторые двукратно экспоненциальные последовательности, которые растут быстрее, чем степени степеней двойки.

Каждая последовательность иррациональности должна расти достаточно быстро, чтобы

$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}=\infty .$

Однако неизвестно, существует ли такая последовательность, в которой наибольший общий делитель каждой пары слагаемых равен 1 (в отличие от степеней степеней двойки) и для которой

$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/2^{n}}<\infty .$

Связанные свойства

Аналогично последовательностям иррациональности, Ханчл (1996) определил трансцендентную последовательность как целочисленную последовательность a _n такую, что для каждой последовательности x _n положительных целых чисел сумма ряда

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}$

существует и является трансцендентным числом .