Кривая Фрея

В математике кривая Фрея или кривая Фрея – Хеллегуарка представляет собой эллиптическую кривую. $$y^{2}=x(x-\alpha )(x+\beta )$$ связанный с тройкой ABC $\alpha +\beta =\gamma$. Это связывает свойства решений уравнений с эллиптическими кривыми. Эта кривая была популяризирована в ее применении к Великой теореме Ферма, где исследуется (гипотетическое) решение уравнения Ферма.

$a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell }.$

Кривая названа в честь Герхарда Фрея и (иногда) Ива Хеллегуарка .

История

Ив Хеллегуар ( 1975 ) придумал идею объединения решений. $(a,b,c)$ уравнения Ферма с совершенно другим математическим объектом: эллиптической кривой. Если ℓ — нечетное простое число, а a , b и c — положительные целые числа такие, что $$a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell },$$ тогда соответствующая кривая Фрея является алгебраической кривой, заданной уравнением $$y^{2}=x(x-a^{\ell })(x+b^{\ell }),$$ или, что то же самое $$y^{2}=x(x-a^{\ell })(x-c^{\ell }).$$ Это неособая алгебраическая кривая рода один, определенная над , и ее проективное пополнение является эллиптической кривой над Q. Q

Герхард Фрей ( 1982 ) обратил внимание на необычные свойства той же кривой, что и Хеллегуарх, которую стали называть кривой Фрея. Это послужило мостом между Ферма и Таниямой, показав, что контрпример к Великой теореме Ферма создаст такую ​​​​кривую, которая не будет модульной. Гипотеза вызвала значительный интерес, когда Фрей (1986) предположил, что из гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля следует Великая теорема Ферма. Однако его аргументация не была полной. В 1985 году Жан-Пьер Серр предположил, что кривая Фрея не может быть модулярной, и предоставил частичное доказательство этого. Это показало, что доказательство полустабильного случая гипотезы Таниямы – Шимуры будет подразумевать Великую теорему Ферма. Серр не предоставил полного доказательства, а то, чего не хватало, стало известно как гипотеза об эпсилоне или ε-гипотеза. Летом 1986 года Рибет (1990) доказал гипотезу об эпсилоне, тем самым доказав, что из гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля следует Великая теорема Ферма.

Ссылки

• Фрей, Герхард (1986), «Связь между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями», Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae , 1 (1):iv+40 ISSN   0933-8268 , MR0   ,
• Фрей, Герхард (1982), «Рациональные точки на кривых Ферма и кривые скрученного модуля», J. pure Angew, 331 : 185–191.
• Хеллегуарх, Ив (1975), "Points d'Ordre 2p" ^час об эллиптических кривых» (PDF) , Польская академия наук. Институт математики. Acta Arithmetica , 26 (3): 253–263, ISSN   0065-1036 , MR   0379507
• Хеллегуарх, Ив (2000), «Исправление к статье Х. Дармона, озаглавленной: «Гипотеза Шимуры-Таниямы-Вейля наконец продемонстрирована» » , Gazette des Mathématiciens , 83 , ISSN   0224-8999 , заархивировано из оригинала в 2012 г. 04 февраля , получено 2 января 2012 г.
• Хеллегуар, Ив (2002), Приглашение к математике Ферма-Уайлса , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-339251-0 , МР   1475927
• Рибет, Кеннет А. (1990), «О модулярных представлениях Gal( Q /Q), возникающих из модульных форм», Inventiones Mathematicae , 100 (2): 431–476, Bibcode : 1990InMat.100..431R , doi : 10.1007 /BF01231195 , hdl : 10338.dmlcz/147454 , ISSN   0020-9910 , MR   1047143 , S2CID   120614740