Теорема Рибета

Теорема Рибе (ранее называвшаяся гипотезой эпсилона или ε-гипотезой ) является частью теории чисел . Речь идет о свойствах представлений Галуа, связанных с модулярными формами . Он был предложен Жан-Пьером Серром и доказан Кеном Рибетом . Доказательство стало важным шагом на пути к доказательству Великой теоремы Ферма (FLT). Как показали Серр и Рибет, гипотеза Таниямы-Шимуры (статус которой в то время не был решен) и гипотеза об эпсилоне вместе подразумевают, что FLT верен.

С математической точки зрения теорема Рибе показывает, что если представление Галуа, связанное с эллиптической кривой, обладает определенными свойствами, то эта кривая не может быть модулярной (в том смысле, что не может существовать модулярная форма, порождающая то же представление). ^[1]

Заявление [ править ]

Пусть $f$ веса 2 — новая форма на $Γ 0 (qN)$ – т.е. уровня $qN$ , где $q$ не делит $N$ – с абсолютно неприводимым 2-мерным $по$ представлением Галуа $модулю p ρ f,p,$ неразветвленным в $q$ , если $q \neq p$ , и конечным плоским в точке $q знак равно п$ . Тогда существует новая форма $g$ веса 2 уровня $N$ такая, что

\rho _{f,p}\simeq \rho _{g,p}.

В частности, если $E$ — эллиптическая кривая над $\mathbb {Q}$ с проводником $qN$ , то теорема модулярности гарантирует, что существует новая форма $f$ веса 2 уровня $qN$ такая, что 2-мерное $модулю$ представление Галуа по $ρ f, p$ из $f$ изоморфно 2-мерному $представлению Галуа$ по модулю $ρ E, п$ Е. $$ теорему Рибе $ρE Чтобы применить к, p$ , достаточно проверить неприводимость и разветвление $ρE,p$ . Используя теорию кривой Тейта , можно доказать, что $ρ E, p$ неразветвлен при $q \neq p$ и конечен плоский при $q = p$ если $p$ делит степень, в которой $q$ появляется в минимальном дискриминанте $Δ E.$ , Тогда из теоремы Рибе следует, что существует новая форма $g$ веса 2 уровня $N$ такая, что $ρ g, p \approx ρ E, p$ .

Понижение уровня [ править ]

Теорема Рибе утверждает, что начало с эллиптической кривой $E$ проводника $qN$ не гарантирует существования эллиптической кривой $E'$ уровня $N$ такой, что $ρ E, p \approx ρ E', p$ . Новая форма $g$ уровня $N$ может не иметь рациональных коэффициентов Фурье более высокой размерности и, следовательно, может быть связана с абелевым многообразием , а не с эллиптической кривой. Например, эллиптическая кривая 4171a1 в базе данных Кремоны определяется уравнением

E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+206441595

с проводником $43\times97$ и дискриминантом $437 \times 97 3$ не понижает уровень mod 7 до эллиптической кривой проводника 97. Скорее, представление Галуа mod $p$ изоморфно представлению Галуа mod $p$ иррациональной новой формы $g$ уровня 97.

Однако для $p$ , достаточно большого по сравнению с уровнем $N$ новой формы с пониженным уровнем, рациональная новая форма (например, эллиптическая кривая) должна быть на уровень ниже другой рациональной новой формы (например, эллиптической кривой). В частности, для $p ≫ N Н 1+ е$ , представление Галуа рациональной новой формы по модулю $p$ не может быть изоморфно иррациональной новой форме уровня $N$ . ^[2]

Точно так же гипотеза Фрея- Мазура предсказывает, что при достаточно большом $p$ (независимом от проводника $N$ ) эллиптические кривые с изоморфными по модулю $p$ представлениями Галуа на самом деле изогенны и, следовательно, имеют один и тот же проводник. Таким образом, не прогнозируется, что нетривиальное понижение уровня между рациональными новыми формами произойдет при больших $p (p > 17)$ .

История [ править ]

В своей диссертации Ив Хеллегуар [ фр ] выдвинул идею связи решений ( a , b , c ) уравнения Ферма с другим математическим объектом: эллиптической кривой. ^[3] Если p — нечетное простое число, а a , b и c — положительные целые числа такие, что

a^{p}+b^{p}=c^{p},

тогда соответствующая кривая Фрея является алгебраической кривой, заданной уравнением

y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p}).

Это неособая алгебраическая кривая рода один, определенная над $\mathbb {Q}$ , а его проективное пополнение представляет собой эллиптическую кривую над $\mathbb {Q}$ .

В 1982 году Герхард Фрей обратил внимание на необычные свойства той же кривой, которая теперь называется кривой Фрея . ^[4]Это послужило мостом между Ферма и Таниямой, показав, что контрпример к FLT создаст кривую, которая не будет модульной. Гипотеза вызвала значительный интерес, когда Фрей предположил, что гипотеза Таниямы-Шимуры подразумевает FLT. Однако его аргументация не была полной. ^[5] В 1985 году Жан-Пьер Серр предположил, что кривая Фрея не может быть модулярной, и предоставил частичное доказательство. ^[6]^[7]Это показало, что доказательство полустабильного случая гипотезы Таниямы – Шимуры будет подразумевать FLT. Серр не предоставил полного доказательства, и недостающий бит стал известен как гипотеза об эпсилоне или ε-гипотеза. Летом 1986 года Кеннет Алан Рибет доказал гипотезу об эпсилоне, тем самым доказав, что из теоремы модульности следует FLT. ^[8]

Название происходит от ε-части «гипотезы Таниямы-Шимуры + ε ⇒ Последняя теорема Ферма».

Последствия [ править ]

Предположим, что уравнение Ферма с показателем $p \geq 5$ ^[8]имело решение в ненулевых целых числах $a, b, c$ . Соответствующая кривая Фрея $E a п, б п, с п$ — эллиптическая кривая, минимальный дискриминант $∆$ которой равен $2 -8 (абв) 2 р$ и чей проводник $N$ является радикалом abc $делящих$ , т.е. произведением всех различных простых чисел, $abc$ . Элементарное рассмотрение уравнения $a п + б п = с п$ , дает понять, что один из $a, b, c$ четный и, следовательно, N. четный По гипотезе Таниямы–Шимуры $E$ — модулярная эллиптическая кривая. Поскольку все нечетные простые числа, делящие $a, b, c$ в $N$ , находятся в $p -й$ степени в минимальном дискриминанте $Δ$ , по теореме Рибе повторяющийся уровня спуск по модулю $p$ удаляет все нечетные простые числа из проводника. Однако новых форм уровня 2 не остается, поскольку род модулярной кривой $X 0 (2)$ равен нулю (а новые формы уровня N являются дифференциалами на $X 0 (N) )$ .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ «Доказательство Великой теоремы Ферма» . 10 декабря 2008 г. Архивировано из оригинала 10 декабря 2008 г.
^ Силлиман, Джесси; Фогт, Изабель (2015). «Полномочия в последовательностях Люка через представления Галуа». Труды Американского математического общества . 143 (3): 1027–1041. arXiv : 1307.5078 . CiteSeerX 10.1.1.742.7591 . дои : 10.1090/S0002-9939-2014-12316-1 . МР 3293720 . S2CID 16892383 .
^ Хеллегуарх, Ив (1972). «Эллиптические кривые и уравнение Ферма». Докторская диссертация . БнФ 359121326 .
^ Фрей, Герхард (1982), «Рациональные точки на кривых Ферма и скрученных модульных кривых», Дж. Рейн Ангью. (in German), 1982 (331): 185–191, doi:10.1515/crll.1982.331.185, MR 0647382, S2CID Математика
^ Фрей, Герхард (1986), «Связь между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями», Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268 , MR 0853387
^ Серр, Ж.-П. (1987), «Lettre à J.-F. Mestre [Письмо Ж.-Ф. Местре]», Современные тенденции в арифметической алгебраической геометрии (Арката, Калифорния, 1985) , Contemporary Mathematics (на французском языке), vol. 67, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 263–268, doi : 10.1090/conm/067/902597 , ISBN. 9780821850749 , МР 0902597
^ Серр, Жан-Пьер (1987), «О модульных представлениях степени 2 Гала ( Q / Q )», Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05413 - 5 , ISSN 0012-7094 , МР 0885783
^ Перейти обратно: ^а ^б Рибет, Кен (1990). «О модулярных представлениях Gal( Q / Q ), возникающих из модулярных форм» (PDF) . Математические изобретения . 100 (2): 431–476. Бибкод : 1990InMat.100..431R . дои : 10.1007/BF01231195 . МР 1047143 . S2CID 120614740 .

Ссылки [ править ]

Кеннет Рибет, От гипотезы Таниямы-Шимуры к последней теореме Ферма . Анналы факультета наук Тулузы сер. 5, 11 нет. 1 (1990), с. 116–139.
Эндрю Уайлс (май 1995 г.). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» (PDF) . Анналы математики . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . дои : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559 .
Ричард Тейлор и Эндрю Уайлс (май 1995 г.). «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» (PDF) . Анналы математики . 141 (3): 553–572. CiteSeerX 10.1.1.128.531 . дои : 10.2307/2118560 . ISSN 0003-486X . JSTOR 2118560 . ОСЛК 37032255 . Збл 0823.11030 .
Кривая Фрея и теорема Рибета

Внешние ссылки [ править ]

Кен Рибет и Великая теорема Ферма , Кевин Баззард , 28 июня 2008 г.

[1] «Доказательство Великой теоремы Ферма» . 10 декабря 2008 г. Архивировано из оригинала 10 декабря 2008 г.

[2] Силлиман, Джесси; Фогт, Изабель (2015). «Полномочия в последовательностях Люка через представления Галуа». Труды Американского математического общества . 143 (3): 1027–1041. arXiv : 1307.5078 . CiteSeerX 10.1.1.742.7591 . дои : 10.1090/S0002-9939-2014-12316-1 . МР 3293720 . S2CID 16892383 .

[3] Хеллегуарх, Ив (1972). «Эллиптические кривые и уравнение Ферма». Докторская диссертация . БнФ 359121326 .

[4] Фрей, Герхард (1982), «Рациональные точки на кривых Ферма и скрученных модульных кривых», Дж. Рейн Ангью. (in German), 1982 (331): 185–191, doi:10.1515/crll.1982.331.185, MR 0647382, S2CID Математика

[5] Фрей, Герхард (1986), «Связь между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями», Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268 , MR 0853387

[6] Серр, Ж.-П. (1987), «Lettre à J.-F. Mestre [Письмо Ж.-Ф. Местре]», Современные тенденции в арифметической алгебраической геометрии (Арката, Калифорния, 1985) , Contemporary Mathematics (на французском языке), vol. 67, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 263–268, doi : 10.1090/conm/067/902597 , ISBN. 9780821850749 , МР 0902597

[7] Серр, Жан-Пьер (1987), «О модульных представлениях степени 2 Гала ( Q / Q )», Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05413 - 5 , ISSN 0012-7094 , МР 0885783

[ribet-8] Перейти обратно: ^а ^б Рибет, Кен (1990). «О модулярных представлениях Gal( Q / Q ), возникающих из модулярных форм» (PDF) . Математические изобретения . 100 (2): 431–476. Бибкод : 1990InMat.100..431R . дои : 10.1007/BF01231195 . МР 1047143 . S2CID 120614740 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]