Теорема модульности

Теорема модульности
Поле	Теория чисел
Предполагается	Ютака Танияма ; Горо Шимура
Предполагается в	1957
Первое доказательство	Кристоф Брей ; Брайан Конрад ; Фред Даймонд ; Ричард Тейлор
Первое доказательство в	2001
Последствия	Последняя теорема Ферма

Теорема о модулярности (ранее называвшаяся гипотезой Таниямы-Шимуры , гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля или гипотезой модулярности для эллиптических кривых ) утверждает, что эллиптические кривые над полем рациональных чисел связаны с модулярными формами особым образом . Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор доказали теорему модулярности для полустабильных эллиптических кривых , чего было достаточно, чтобы вывести Великую теорему Ферма . Позже серия статей бывших учеников Уайлса Брайана Конрада , Фреда Даймонда и Ричарда Тейлора , кульминацией которых стала совместная статья с Кристофом Брейлем , расширила методы Уайлса для доказательства полной теоремы модульности в 2001 году.

Заявление

Теорема утверждает , что любая эллиптическая кривая над $ℚ$ может быть получена с помощью рационального отображения с целыми коэффициентами из классической модулярной кривой $X 0 (N)$ для некоторого целого числа $N$ ; это кривая с целыми коэффициентами с явным определением. Это отображение называется модульной параметризацией $N.$ уровня Если $N$ — наименьшее целое число, для которого можно найти такую параметризацию (которое, согласно самой теореме модульности, теперь известно как число, называемое проводником ), то параметризация может быть определена в терминах отображения, порожденного определенным видом модульная форма веса два и уровня $N$ , нормализованная новая форма с целочисленным $q$ -разложением, за которым, если необходимо, следует изогения .

Связанные заявления

Теорема о модульности подразумевает тесно связанное аналитическое утверждение:

К каждой эллиптической кривой $E$ над $ℚ$ можно присоединить соответствующий $L$ -ряд . L $-$ серия — это серия Дирихле , обычно записываемая

L(E,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.

производящая функция коэффициентов $a n$ Тогда равна

f(E,q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.

Если мы сделаем замену

q=e^{2\pi i\tau }

мы видим, что мы написали разложение Фурье функции $f (E, τ)$ комплексной переменной $τ$ , поэтому коэффициенты $q$ -ряда также считаются коэффициентами Фурье функции $f$ . Полученная таким образом функция, что примечательно, является формой возврата веса два и уровня $N$ , а также является собственной формой (собственным вектором всех операторов Гекке ); это гипотеза Хассе–Вейля , вытекающая из теоремы модулярности.

Некоторые модулярные формы веса два, в свою очередь, соответствуют голоморфным дифференциалам эллиптической кривой. Якобиан модулярной кривой можно (с точностью до изогении) записать как произведение неприводимых абелевых многообразий , что соответствует собственным формам Гекке веса 2. Одномерные факторы представляют собой эллиптические кривые (могут также существовать факторы более высокой размерности, поэтому не все собственные формы Гекке соответствуют рациональным эллиптическим кривым). Кривая, полученная путем нахождения соответствующей формы возврата и последующего построения по ней кривой, изогенна исходной кривой (но, вообще говоря, не изоморфна ей).

История

Ютака Танияма ^{[ 1 ]} изложил предварительную (немного неверную) версию гипотезы на международном симпозиуме 1955 года по алгебраической теории чисел в Токио и Никко . Горо Шимура и Танияма работали над улучшением его строгости до 1957 года. Андре Вейль ^{[ 2 ]} заново открыл гипотезу и в 1967 году показал, что она следует из (предполагаемых) функциональных уравнений для некоторых скрученных $L$ -рядов эллиптической кривой; это было первое серьезное свидетельство того, что эта гипотеза может быть верной. Вейль также показал, что проводником эллиптической кривой должен быть уровень соответствующей модульной формы. Гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля стала частью программы Ленглендса . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Гипотеза вызвала значительный интерес, когда Герхард Фрей ^{[ 5 ]} в 1986 году предположил, что из этого следует Великая теорема Ферма . Он сделал это, пытаясь показать, что любой контрпример к Великой теореме Ферма будет подразумевать существование хотя бы одной немодулярной эллиптической кривой. Этот аргумент был завершен в 1987 году, когда Жан-Пьер Серр ^{[ 6 ]} выявил недостающее звено (теперь известное как гипотеза об эпсилоне или теорема Рибета) в оригинальной работе Фрея, а два года спустя Кен Рибет завершил доказательство гипотезы об эпсилоне. ^{[ 7 ]}

Даже после того, как гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля привлекла серьезное внимание, современные математики считали ее чрезвычайно трудной для доказательства или, возможно, даже недоступной для доказательства. ^{[ 8 ]} Например, доктор философии Уайлса. Руководитель Джон Коутс заявляет, что это казалось «фактически невозможно доказать», а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали, что [это] совершенно недоступно».

В 1995 году Эндрю Уайлс с некоторой помощью Ричарда Тейлора доказал гипотезу Таниямы-Шимуры-Вейля для всех полустабильных эллиптических кривых . Уайлс использовал это, чтобы доказать Великую теорему Ферма. ^{[ 9 ]} и полная гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля была окончательно доказана Даймондом: ^{[ 10 ]} Конрад, Даймонд и Тейлор; и Брей, Конрад, Даймонд и Тейлор; Опираясь на работу Уайлса, они постепенно сокращали количество оставшихся случаев, пока полный результат не был доказан в 1999 году. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} После полного доказательства гипотеза стала известна как теорема модульности.

Несколько теорем теории чисел, подобных Великой теореме Ферма, следуют из теоремы о модулярности. Например: ни один куб не может быть записан как сумма двух взаимно простых $n-$ х степеней, $n \geq 3$ . ^{[ а ]}

Обобщения

Теорема о модулярности является частным случаем более общих гипотез Роберта Ленглендса . Программа Ленглендса стремится присоединить автоморфную форму или автоморфное представление (подходящее обобщение модульной формы) к более общим объектам арифметической алгебраической геометрии, например, к каждой эллиптической кривой над числовым полем . Большинство случаев этих расширенных гипотез еще не доказаны.

В 2013 году Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек доказали, что эллиптические кривые, определенные над вещественными квадратичными полями, являются модулярными. ^{[ 13 ]}

Пример

Например, ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} эллиптическая кривая $y 2 - у = х 3 - x$ с дискриминантом (и проводником) 37 соответствует форме

f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots ,\qquad q=e^{2\pi iz}

Для простых чисел $l,$ не равных 37, можно проверить свойство коэффициентов. Таким образом, при $l = 3$ существует 6 решений уравнения по модулю 3: $(0, 0)$ , $(0, 1)$ , $(1, 0)$ , $(1, 1)$ , $(2, 0)$ , $(2, 1)$ ; таким образом $а (3) = 3 - 6 = -3$ .

Гипотеза, возникшая еще в 1950-х годах, была полностью доказана к 1999 году с использованием идей Эндрю Уайлса , который доказал ее в 1994 году для большого семейства эллиптических кривых. ^{[ 17 ]}

Существует несколько формулировок гипотезы. Доказательство их эквивалентности было главной задачей теории чисел во второй половине 20 века. Модульность эллиптической кривой $E$ проводника $N$ можно также выразить, сказав, что существует непостоянное рациональное отображение , определенное над $ℚ$ , от модулярной кривой $X 0 (N)$ до $E$ . В частности, точки $E$ можно параметризовать модулярными функциями .

Например, модульная параметризация кривой $y 2 - у = х 3 - x$ определяется выражением ^{[ 18 ]}

{\begin{aligned}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\cdots \\y(z)&=q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+180q^{3}+\cdots \end{aligned}}

где, как и выше, $q = e 2 πиз$ . Функции $x (z)$ и $y (z)$ являются модулярными с весом 0 и уровнем 37; другими словами, они мероморфны , определены в верхней полуплоскости $Im(z) > 0$ и удовлетворяют

x\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)

и аналогично для $y (z)$ для всех целых чисел $a, b, c, d$ с $ad - bc = 1$ и $37 | в$ .

Другая формулировка зависит от сравнения представлений Галуа, связанных, с одной стороны, с эллиптическими кривыми, а с другой стороны, с модулярными формами. Последняя формулировка была использована при доказательстве гипотезы. Работа с уровнем форм (и соединением с проводником кривой) особенно деликатна.

Наиболее эффектным применением этой гипотезы является доказательство Великой теоремы Ферма (FLT). Предположим, что для простого числа $p \geq 5$ уравнение Ферма

a^{p}+b^{p}=c^{p}

имеет решение с ненулевыми целыми числами, следовательно, это контрпример к FLT. Затем, как Ив Хеллегуар [ фр ] : первым заметил ^{[ 19 ]} эллиптическая кривая

y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})

дискриминанта

\Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2p}

не может быть модульным. ^{[ 7 ]} Таким образом, доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля для этого семейства эллиптических кривых (называемых кривыми Хеллегуарка–Фрея) влечет за собой FLT. Доказательство связи между этими двумя утверждениями, основанное на идее Герхарда Фрея (1985), сложно и технически сложно. Он был основан Кеннетом Рибетом в 1987 году. ^{[ 20 ]}

Примечания

^ Случай $n = 3$ был уже известен Эйлеру .

Ссылки

^ Танияма 1956 .
^ Потому что 1967 год .
^ Харрис, Майкл (2020). «Достоинства приоритета». arXiv : 2003.08242 [ math.HO ].
^ Ланг, Серж (ноябрь 1995 г.). «Немного истории гипотезы Шимуры-Таниямы» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 42 (11): 1301–1307 . Проверено 8 ноября 2022 г.
^ Фрей 1986 .
^ Теплица 1987 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Сложный 1990 год .
^ Сингх 1997 , стр. 203–205, 223, 226.
^ Уайлс 1995a ; Уайлс 1995б .
^ Даймонд 1996 .
^ Конрад, Даймонд и Тейлор 1999 .
^ Брей и др. 2001 .
^ Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек 2015 .
^ Расчеты см., например, Zagier 1985 , стр. 225–248.
^ LMFDB: http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/37/a/1
^ OEIS: https://oeis.org/A007653
^ Синтетическое изложение (на французском языке) основных идей можно найти в статье Бурбаки о Жан-Пьера Серра . Более подробную информацию см. в Hellegouarch 2001.
^ Загер, Д. (1985). «Модульные точки, модульные кривые, модульные поверхности и модульные формы». Арбайтстагунг Бонн, 1984 год . Конспект лекций по математике. Том. 1111. Спрингер. стр. 225–248. дои : 10.1007/BFb0084592 . ISBN 978-3-540-39298-9 .
^ Хеллегуарх, Ив (1974). «Пункты заказа 2 р. ^час sur les courbes elliptiques» (PDF) . Acta Arithmetica . 26 (3): 253–263. doi : 10.4064/aa-26-3-253-263 . ISSN 0065-1036 . MR 0379507 .
^ См. опрос Рибет, К. (1990b). «От гипотезы Таниямы-Шимуры к Великой теореме Ферма» . Анналы факультета наук Тулузы . 11 : 116–139. дои : 10.5802/afst.698 .

Библиография

Брей, Кристоф; Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (2001), «О модулярности эллиптических кривых над Q : дикие 3-адические упражнения», Журнал Американского математического общества , 14 (4): 843–939, doi : 10.1090/S0894-0347-01- 00370-8 , ISSN 0894-0347 , МР 1839918
Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (1999), «Модульность некоторых потенциально представлений Барсотти – Тейта Галуа», Журнал Американского математического общества , 12 (2): 521–567, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00287-8 , ISSN 0894-0347 , МР 1639612
Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х .; Стивенс, Гленн, ред. (1997), Модульные формы и последняя теорема Ферма , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94609-2 , МР 1638473
Дармон, Анри (1999), «Объявлено полное доказательство гипотезы Шимуры-Таниямы-Вейля» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 46 (11): 1397–1401, ISSN 0002-9920 , MR 1723249 Содержит нежное введение в теорему и план доказательства.
Даймонд, Фред (1996), «О кольцах деформации и кольцах Гекке», Annals of Mathematics , Second Series, 144 (1): 137–166, doi : 10.2307/2118586 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118586 , MR 1405946
Фрейтас, Нуно; Ле Хунг, Бао В.; Сиксек, Самир (2015), «Эллиптические кривые над действительными квадратичными полями являются модулярными», Inventiones Mathematicae , 201 (1): 159–206, arXiv : 1310.7088 , Bibcode : 2015InMat.201..159F , doi : 10.1007/s00222-014-0550-z , ISSN 0020-9910 , MR 3359051 , S2CID 119132800
Фрей, Герхард (1986), «Связь между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями», Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae , 1 (1):iv+40 ISSN 0933-8268 , MR0 ,
Мазур, Барри », The American Mathematical Monthly , 98 (7): 593–610, doi : 10.2307/2324924 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2324924 , MR 1121312 (1991), «Теория чисел как овод . Гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля за 3 года до этого была доказана для бесконечного числа случаев.
Рибет, Кеннет А. (1990), «О модулярных представлениях Gal( Q / Q ), возникающих из модульных форм», Inventiones Mathematicae , 100 (2): 431–476, Bibcode : 1990InMat.100..431R , doi : 10.1007 /BF01231195 , hdl : 10338.dmlcz/147454 , ISSN 0020-9910 , MR 1047143 , S2CID 120614740
Серр, Жан-Пьер (1987), «О модульных представлениях Гала ( Q / Q) степени 2», Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05413 - 5 , ISSN 0012-7094 , МР 0885783
Шимура, Горо (1989), «Ютака Танияма и его время. Очень личные воспоминания», Бюллетень Лондонского математического общества , 21 (2): 186–196, doi : 10.1112/blms/21.2.186 , ISSN 0024-6093 , МР 0976064
Сингх, Саймон (1997), Великая теорема Ферма , Четвертая власть, ISBN 978-1-85702-521-7
Танияма, Ютака (1956), «Проблема 12», Сугаку (на японском языке), 7 :269, английский перевод ( Шимура 1989 , стр. 194)
Тейлор, Ричард; Уайлс, Эндрю (1995), «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке», Annals of Mathematics , Second Series, 141 (3): 553–572, CiteSeerX 10.1.1.128.531 , doi : 10.2307/2118560 , ISSN 0003- 486X , JSTOR 2118560 , МР 1333036
Вейль, Андре (1967), «Об определении рядов Дирихле функциональными уравнениями», Mathematical Annals , 168 : 149–156, doi : 10.1007/BF01361551 , ISSN 0025-5831 , MR 0207658 , S2CID 120553723
Уайлс, Эндрю (1995a), «Модулярные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма», Annals of Mathematics , Second Series, 141 (3): 443–551, CiteSeerX 10.1.1.169.9076 , doi : 10.2307/2118559 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118559 , МР 1333035
Уайлс, Эндрю (1995b), «Модульные формы, эллиптические кривые и последняя теорема Ферма», Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Цюрих, 1994) , Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 243–245, MR 1403925.

Внешние ссылки

Дармон, Х. (2001) [1994], «Гипотеза Шимуры-Таниямы» , Энциклопедия математики , EMS Press
Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Таниямы – Шимуры» . Математический мир .

[13] Случай $n = 3$ был уже известен Эйлеру .

[FOOTNOTETaniyama1956-1] Танияма 1956 .

[FOOTNOTEWeil1967-2] Потому что 1967 год .

[Harris_Virtues_of_Priority-3] Харрис, Майкл (2020). «Достоинства приоритета». arXiv : 2003.08242 [ math.HO ].

[4] Ланг, Серж (ноябрь 1995 г.). «Немного истории гипотезы Шимуры-Таниямы» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 42 (11): 1301–1307 . Проверено 8 ноября 2022 г.

[FOOTNOTEFrey1986-5] Фрей 1986 .

[FOOTNOTESerre1987-6] Теплица 1987 .

[FOOTNOTERibet1990-7] Перейти обратно: ^а ^б Сложный 1990 год .

[FOOTNOTESingh1997203–205,_223,_226-8] Сингх 1997 , стр. 203–205, 223, 226.

[FOOTNOTEWiles1995aWiles1995b-9] Уайлс 1995a ; Уайлс 1995б .

[FOOTNOTEDiamond1996-10] Даймонд 1996 .

[FOOTNOTEConradDiamondTaylor1999-11] Конрад, Даймонд и Тейлор 1999 .

[FOOTNOTEBreuilConradDiamondTaylor2001-12] Брей и др. 2001 .

[FOOTNOTEFreitasLe_HungSiksek2015-14] Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек 2015 .

[15] Расчеты см., например, Zagier 1985 , стр. 225–248.

[16] LMFDB: http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/37/a/1

[17] OEIS: https://oeis.org/A007653

[18] Синтетическое изложение (на французском языке) основных идей можно найти в статье Бурбаки о Жан-Пьера Серра . Более подробную информацию см. в Hellegouarch 2001.

[19] Загер, Д. (1985). «Модульные точки, модульные кривые, модульные поверхности и модульные формы». Арбайтстагунг Бонн, 1984 год . Конспект лекций по математике. Том. 1111. Спрингер. стр. 225–248. дои : 10.1007/BFb0084592 . ISBN 978-3-540-39298-9 .

[20] Хеллегуарх, Ив (1974). «Пункты заказа 2 р. ^час sur les courbes elliptiques» (PDF) . Acta Arithmetica . 26 (3): 253–263. doi : 10.4064/aa-26-3-253-263 . ISSN 0065-1036 . MR 0379507 .

[21] См. опрос Рибет, К. (1990b). «От гипотезы Таниямы-Шимуры к Великой теореме Ферма» . Анналы факультета наук Тулузы . 11 : 116–139. дои : 10.5802/afst.698 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ а ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]