Уравнение Нернста – Планка

Уравнение Нернста-Планка представляет собой уравнение сохранения массы , используемое для описания движения заряженных химических частиц в жидкой среде. Он расширяет закон диффузии Фика на случай, когда диффундирующие частицы также перемещаются относительно жидкости под действием электростатических сил. Он назван в честь Вальтера Нернста и Макса Планка .

Уравнение

Уравнение Нернста – Планка представляет собой уравнение непрерывности для зависящей от времени концентрации. $c(t,{\bf {x}})$ химического вида:

${\partial c \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\bf {J}}=0$

где ${\bf {J}}$ это поток . Предполагается, что общий поток состоит из трех элементов: диффузии , адвекции и электромиграции . Это означает, что на концентрацию влияет градиент ионной концентрации. $\nabla c$, скорость потока ${\bf {v}}$, и электрическое поле ${\bf {E}}$:

${\bf {J}}=-\underbrace {D\nabla c} _{\text{Diffusion}}+\underbrace {c{\bf {v}}} _{\text{Advection}}+\underbrace {{Dze \over {k_{\text{B}}T}}c{\bf {E}}} _{\text{Electromigration}}$

где $D$ - коэффициент диффузии химических частиц, $z$ - валентность ионных частиц, $e$ это элементарный заряд , $k_{\text{B}}$ – постоянная Больцмана и $T$ это абсолютная температура . Электрическое поле можно далее разложить на:

${\bf {E}}=-\nabla \phi -{\partial {\bf {A}} \over {\partial t}}$

где $\phi$ электрический потенциал и ${\bf {A}}$ – магнитный векторный потенциал . Следовательно, уравнение Нернста – Планка имеет вид:

${\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D\nabla c-c\mathbf {v} +{\frac {Dze}{k_{\text{B}}T}}c\left(\nabla \phi +{\partial {\bf {A}} \over {\partial t}}\right)\right]$

Упрощения

Предполагая, что концентрация находится в равновесии $(\partial c/\partial t=0)$ а скорость потока равна нулю, что означает, что перемещаются только виды ионов, уравнение Нернста – Планка принимает вид:

$\nabla \cdot \left\{D\left[\nabla c+{ze \over {k_{\text{B}}T}}c\left(\nabla \phi +{\partial {\bf {A}} \over {\partial t}}\right)\right]\right\}=0$

Вместо общего электрического поля, если мы предположим, что важна только электростатическая составляющая, уравнение еще больше упрощается за счет удаления производной по времени магнитного векторного потенциала:

$\nabla \cdot \left[D\left(\nabla c+{ze \over {k_{\text{B}}T}}c\nabla \phi \right)\right]=0$

Наконец, в единицах моль/(м ² ·с) и газовая постоянная $R$, получим более привычную форму:

$\nabla \cdot \left[D\left(\nabla c+{zF \over {RT}}c\nabla \phi \right)\right]=0$

где $F$ Фарадея постоянная равна $N_{\text{A}}e$; произведение постоянной Авогадро и элементарного заряда.

Приложения

Уравнение Нернста–Планка применяется для описания ионного обмена кинетики в почвах. Это также было применено к мембранной электрохимии .

См. также

• Уравнение Гольдмана – Ходжкина – Каца
• Биоэлектрохимия