Плавучесть гибких объектов

Флотация гибких объектов — это явление, при котором изгиб гибкого материала позволяет объекту вытеснить большее количество жидкости, чем если бы он был полностью жестким. Эта способность вытеснять больше жидкости напрямую приводит к способности выдерживать большие нагрузки, что дает гибкой конструкции преимущество перед такой же жесткой конструкцией. Вдохновение для изучения влияния эластичности взято из природы, где растения, такие как черный перец , и животные, живущие на поверхности воды, эволюционировали, чтобы воспользоваться преимуществами несущей способности, которую придает эластичность.

История

В своей работе «О плавающих телах» Архимед знаменито заявил:

Любой объект, полностью или частично погруженный в жидкость, выдерживается силой, равной весу жидкости, вытесненной этим объектом.

— Архимед Сиракузский ​

Хотя эта основная идея имела огромный вес и стала основой для понимания того, почему объекты плавают, ее лучше всего применять к объектам, характерная длина которых превышает длину капилляра . Чего Архимеду не удалось предсказать, так это влияния поверхностного натяжения и его воздействия на малых масштабах длины.

Более поздние работы, такие как работа Келлера, расширили эти принципы, рассмотрев роль сил поверхностного натяжения на частично погруженных в воду телах. Келлер, например, аналитически продемонстрировал, что вес воды, вытесненной мениском, равен вертикальной составляющей силы поверхностного натяжения.

Хорошо известные явления, с помощью которых водомерки поддерживают себя за счет эффектов поверхностного натяжения, можно пересмотреть, рассмотрев податливость и возникающую в результате деформацию ноги насекомого на ватерлинии.

Тем не менее, роль гибкости и ее влияние на несущую способность объекта привлекали внимание до середины 2000-х годов и позже. В первоначальном исследовании Велла изучил груз, поддерживаемый плотом, состоящим из тонких жестких полос. В частности, он сравнил случай плавающих отдельных полосок с плавающим скоплением полос, когда совокупная структура приводит к исчезновению частей мениска (и, следовательно, результирующей силы поверхностного натяжения). Расширив свой анализ и рассмотрев аналогичную систему, состоящую из тонких полосок с некоторой конечной жесткостью на изгиб, он обнаружил, что этот более поздний случай фактически способен выдерживать большую нагрузку.

Хорошо известной работой в области флотации с помощью поверхностного натяжения был анализ передвижения водомерок по поверхности воды. Используя идею гибких структур, Джи и др. повторно исследовали эту проблему, рассмотрев податливость ноги водомерки. Смоделировав ногу как податливую структуру, которая деформируется на поверхности воды (а не протыкает ее), Джи смог выяснить, какие дополнительные преимущества дает эта гибкость в поддержке насекомого. Другие исследования водомерок изучали, каким образом гибкость может влиять на смачивающие свойства ног.

Еще одно направление исследований заключалось в том, чтобы выяснить, как именно взаимодействие между жидкостью и податливым объектом приводит к результирующей деформации. В одном примере такой анализ был расширен для объяснения сложности погружения волос в жидкость. В этих работах основное внимание уделяется поведению вблизи линии соприкосновения и рассматривается, какую роль играют нелинейные эффекты, такие как проскальзывание.

Физическое объяснение явлений

В жидком растворе любая молекула жидкости испытывает сильные силы сцепления со стороны соседних молекул. Хотя эти силы уравновешиваются в объеме, молекулы на поверхности раствора окружены с одной стороны молекулами воды, а с другой стороны - молекулами газа. Возникающий в результате дисбаланс сил сцепления вдоль поверхности приводит к чистому «притяжению» к объему, вызывая явления поверхностного натяжения.

Жесткая пластина погружена ниже ватерлинии. Если пластинка гибкая, ее деформация (пунктир) приводит к смещению дополнительной жидкости (синий, диагональ). Однако это приводит к одновременным потерям из-за сужения вышеуказанного столбца (красный, вертикальный).

Когда гидрофобный объект весом $w$ оказывается на поверхности воды, его вес начинает деформировать ватерлинию. Гидрофобная природа объекта означает, что вода будет пытаться свести к минимуму контакт из-за неблагоприятного энергетического баланса, связанного со смачиванием. В результате поверхностное натяжение пытается оттянуть ватерлинию, чтобы свести к минимуму контакт с гидрофобным объектом и сохранить самое низкое энергетическое состояние. Это действие поверхности по отталкиванию погруженной границы раздела воды является источником капиллярной силы, которая действует тангенциально вдоль линии контакта и тем самым приводит к возникновению компонента в вертикальном направлении. Попытка дальнейшего опускания объекта сопротивляется этой капиллярной силе до тех пор, пока линия контакта не достигнет вертикального положения, расположенного примерно на две длины капилляра ниже ненарушенной ватерлинии. Как только это происходит, мениск разрушается, и предмет тонет.

Чем больше жидкости способен вытеснить плавучий объект, тем большую нагрузку он способен выдержать. В результате конечная выгода от гибкости заключается в определении того, приведет ли изогнутая конфигурация к увеличению объема вытесненной воды. Когда гибкий объект изгибается, он глубже проникает в воду и увеличивает общее количество вытесненной над ним жидкости. Однако это изгибающее действие обязательно приводит к уменьшению поперечного сечения у ватерлинии, сужая столб вытесненной воды над объектом. Таким образом, будет ли изгиб выгоден или нет, в конечном итоге определяется компромиссом этих факторов.

Математическая модель: флотация шарнирных пластин.

Две жесткие пластины, соединенные пружиной кручения.

Следующий анализ взят в основном из работ Бертона и Буша. и предлагает некоторое математическое понимание роли, которую гибкость играет в улучшении несущих характеристик плавучих объектов.

Рассмотрим две пластины бесконечной ширины толщиной $t$и длина $b$ которые соединены пружиной кручения с жесткостью пружины на единицу ширины. $K_{s}$. Кроме того, пусть $\alpha$ - угол между пластиной и горизонтом, а $\phi$ от места соединения мениска с пластиной до горизонтали. Расстояние от невозмущенной ватерлинии до внешнего края пластины равно $h$. Плотность воды $\rho$, плотность воздуха считается пренебрежимо малой, а плотность пластины $\rho _{s}$, должны быть разнообразными. Все системы естественным образом принимают конфигурацию, которая минимизирует общую энергию. Таким образом, целью данного анализа является выявление конфигураций (т.е. значений $h$ и $\alpha$), которые приводят к устойчивому равновесию при заданном значении $\rho _{s}$.

Для полной энергии системы $\Pi$, естественно выделить подкомпоненты:

Две жесткие пластины, соединенные пружиной кручения и погруженные между ватерлинией. Поскольку материал считается гидрофобным , вода деформируется, образуя мениск на краю пластины.

$\Pi =U-V$

$V$: Работа, проделанная в системе

$U$: Потенциальная энергия системы

При определении $V$, есть несколько связанных компонентов:

$V=W_{H,i}+W_{H,p}-W_{g,p}+W_{\sigma }$

$W_{H,i}$ это работа, совершаемая на границе раздела гидростатическим давлением

$W_{H,p}$ работа, совершенная над пластинами гидростатическим давлением

$W_{g,p}$ работа, совершаемая над пластинами силой тяжести

$W_{\sigma }$ работа, совершаемая над пластинами силами поверхностного натяжения

Аналогично, потенциальная энергия системы, $U$, считается состоящим из двух слагаемых: $U=S+E_{s}$

$S$ - поверхностная энергия границы раздела вода/воздух

$E_{s}$ – энергия, запасенная в пружине кручения, равная $E_{s}=K_{s}(2\alpha )^{2}/2$

Есть два способа, которыми энергия системы может постепенно меняться. Первый – это перенос центра масс пластин на некоторое расстояние. $\delta h$. Второе – постепенное изменение. $\delta \alpha$ в угле шарнира. Такое изменение вызовет новый момент.

Как уже упоминалось, система будет искать ориентацию, которая минимизирует $\delta \Pi =\delta U-\delta V$ чтобы найти точку устойчивого равновесия. Записав эти термины более подробно:

$\delta V=\delta W_{H,i}+\delta W_{H,p}-\delta W_{g,p}+\delta W_{\sigma }$

$\delta W_{H,i}=\rho g\int \eta (x)dx\delta \epsilon$

$\delta W_{H,p}=\rho g\left(\left(2bh{\text{cos}}\alpha +b^{2}{\text{cos}}\alpha {\text{sin}}\alpha \right)\delta h+\left({\frac {b^{3}}{3}}{\text{sin}}\alpha +b^{2}h\right)\delta \alpha \right)$

$\delta W_{g,p}=\rho _{s}gt\left(2b\delta h+b^{2}{\text{cos}}\left(\alpha \right)\delta \alpha \right)$

$\delta W_{\sigma }=2\sigma \left({\text{sin}}\phi \delta h+b\left({\text{sin}}\left(\phi -\alpha \right)\delta \alpha \right)\right)$

$\delta U=\sigma \delta {\mathcal {L}}+4K_{s}\alpha \delta \alpha$

Здесь, $\eta (x)$ - уравнение границы раздела воздух/вода, $\delta \epsilon$ - постепенное смещение границы раздела, а $\sigma$ - поверхностное натяжение воды.

Для заданного значения $\rho _{s}$стабильные равновесные конфигурации идентифицируются как значения $h$ и $\alpha$ которые удовлетворяют

${\frac {\delta \Pi }{\delta h}}=0$

${\frac {\delta \Pi }{\delta \alpha }}=0$

Взятые в ином свете, эти условия можно рассматривать как идентифицирующие $h$ и $\alpha$ которые приводят к нулевой чистой силе и нулевому чистому крутящему моменту для данного $\rho _{s}$.

Аналитические результаты для максимальной нагрузки

Определение безразмерной длины пластины $\beta ={\frac {b}{2l_{c}}}$, безразмерная глубина края пластины $H={\frac {h}{l_{c}}}$и безразмерная нагрузка $D={\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}{\frac {t}{l_{c}}}$, Бертон и Буш получили следующие аналитические результаты:

$H_{{\text{max}},D}={\frac {2\left({\sqrt {2}}+\beta \right)}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}\beta +\beta ^{2}}}}$
$\alpha _{{\text{max}},D}={\text{arcos}}\left({\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {8+\beta ^{2}\left(-2+{\sqrt {2}}\beta \right)}{16+\beta ^{2}}}}}\right)$
$D_{\text{max}}={\frac {\beta }{4}}+{\sqrt {2}}+{\frac {1}{\beta }}$

Уравнения для $H$ и $\alpha$ укажите параметры конфигурации, которые дают максимальное значение $D$. Для дальнейшего понимания полезно изучить различные режимы безразмерной длины пластины: $\beta$.

Случай 1: Малый масштаб β << H

Когда характерная длина пластины намного меньше характерной глубины края пластины, эффекты силы тяжести, поверхностного натяжения и энергии пружины становятся доминирующими. В этом предельном случае оказывается, что гибкость не улучшает несущую способность пластин; действительно, оптимальная конфигурация — плоская пластина. Поскольку длина пластины намного меньше, чем смещение от ненарушенной ватерлинии, дополнительная жидкость, вытесненная при изгибе жесткой пластины, перевешивается потерей жидкости в колонне над пластиной.

Случай 2: Средний масштаб β ~ H

В этом режиме гибкость может улучшить, а может и не улучшить несущую способность пластин. Длины двух характеристик имеют сопоставимые размеры, поэтому конкретные значения для каждой определяют, превышает ли дополнительная жидкость, вытесненная за счет изгиба, жидкость, потерянную из-за сужения колонны.

Случай 3: Крупномасштабный β >> H

В этом режиме преимущество гибкости наиболее заметно. Характерная длина пластины значительно превышает характерную глубину, на которую пластина погружается под ватерлинию. В результате сужение столба над пластиной незначительно, а дополнительное вытеснение воды за счет изгиба существенно.

Расширения непрерывно деформируемого тела

Чтобы связать эту математику с физическими системами, приведенный выше анализ можно распространить на непрерывно деформируемые тела. Обобщение уравнений системы двух пластин позволяет записать соответствующую систему уравнений для случая непрерывно деформируемой пластины. Эта непрерывно деформируемая пластина состоит из $n$ монтажные плиты, где для каждой монтажной плиты должны соблюдаться аналогичные условия равновесия сил и крутящих моментов, описанные ранее. Такой анализ показывает, что для высокоподатливой 2D-структуры с характерной длиной, намного превышающей длину капилляра, форма, несущая наибольшую нагрузку, представляет собой идеальный полукруг. По мере увеличения жесткости полукруг деформируется до формы с меньшей кривизной .

Этот первоначальный взгляд на непрерывно деформируемые тела представляет собой первый шаг к очень сложной проблеме. Учитывая основу, заложенную в этом анализе, вполне вероятно, что в будущих работах эта общая идеология будет реализована в рамках подхода конечных элементов. Это позволит гораздо точнее моделировать явления реального мира и поможет определить, как эффекты упругости могут помочь в проектировании роботов, инструментов и других устройств, работающих вдоль ватерлинии.

Примеры в природе

Муравьи

Чтобы пережить наводнение, колонии огненных муравьев соединяют конечности, образуя живой плот.

Несколько видов муравьев, включая огненных муравьев . формика и красный импортный огненный муравей , разработали адаптацию, позволяющую пережить наводнения, угрожающие колонии. В то время как отдельные огненные муравьи гидрофобны и барахтаются на поверхности воды, большие группы муравьев могут объединяться, образуя временный живой комок, известный как плот, и плавать вдоль ватерлинии до 12 дней, пока не достигнут суши. Эти скопления могут включать до 100 000 отдельных муравьев, пока королева и личинки эвакуируются из затопленной колонии, сидящей на этом живом плоту. Муравьи, сгруппированные таким образом, будут распознавать различные условия потока жидкости и соответствующим образом адаптировать свое поведение, чтобы сохранить устойчивость плота.

Гибкость этого самособранного муравьиного плота важна в несколько раз. Дополнительная нагрузка, которую придает гибкость, жизненно важна, поскольку голодная рыба будет плавать вдоль нижней части плота и поедать многих его членов. Более того, когда волны движутся по поверхности воды, гибкость плота-муравья позволяет ему эффективно «катиться» вместе с волной и минимизировать возмущения, которые в противном случае они могли бы вызвать для аналогичной, но жесткой конструкции.

Водная растительность

Чтобы защитить репродуктивный материал, лепестки ромашки сгибаются во время наводнений, чтобы предотвратить прилив воды.

Среди водной растительности кувшинка , пожалуй, самая узнаваемая, обычно ассоциирующаяся с прудами и озерами. Их гибкость позволяет выдерживать повышенные нагрузки, позволяя им выдерживать животных, таких как лягушки, вес которых во много раз превышает их собственный вес.

Некоторые водные цветы, такие как маргаритка Bellis perennis , используют податливость как механизм выживания. У таких цветов есть корни, которые доходят до подстилающей почвы, прикрепляя цветок к поверхности воды. Когда происходит затопление, лепестки втягиваются внутрь и деформируют линию воды, защищая генетический материал в ядре. Известно, что некоторые цветы даже таким образом полностью закрываются в оболочку, задерживая воздух внутри.