весь осциллятор

В физике генератор Тоды представляет собой особый вид нелинейного генератора . Он представляет собой цепочку частиц с экспоненциальным потенциалом взаимодействия между соседями. Эти концепции названы в честь Мориказу Тоды . Генератор Тоды используется в качестве простой модели для понимания явления автопульсации , которая представляет собой квазипериодическую пульсацию выходной интенсивности твердотельного лазера в переходном режиме .

Определение

Осциллятор Тоды представляет собой динамическую систему любого происхождения, которую можно описать зависимой координатой $~x~$ и независимая координата $~z~$, характеризующийся тем, что эволюция по независимой координате $~z~$ можно аппроксимировать уравнением

${\frac {{\rm {d^{2}}}x}{{\rm {d}}z^{2}}}+D(x){\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}+\Phi '(x)=0,$

где $~D(x)=ue^{x}+v~$, $~\Phi (x)=e^{x}-x-1~$ штрих обозначает производную.

Физический смысл

Независимая координата $~z~$ имеет чувство времени . Действительно, оно может быть пропорционально времени $~t~$ с некоторым отношением, например $~z=t/t_{0}~$, где $~t_{0}~$ является постоянным.

Производная ​ $~{\dot {x}}={\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}$ может иметь смысл скорости частицы с координатой $~x~$; затем $~{\ddot {x}}={\frac {{\rm {d}}^{2}x}{{\rm {d}}z^{2}}}~$ можно интерпретировать как ускорение ; и масса такой частицы равна единице.

Диссипативная функция $~D~$ может иметь смысл коэффициента трения , пропорционального скорости .

Обычно оба параметра $~u~$ и $~v~$ должны быть положительными; то этот коэффициент трения, пропорциональный скорости, растет экспоненциально при больших положительных значениях координаты $~x~$.

Потенциал $~\Phi (x)=e^{x}-x-1~$ — фиксированная функция, которая также демонстрирует экспоненциальный рост при больших положительных значениях координаты $~x~$.

В приложении к лазерной физике $~x~$ может иметь смысл логарифма числа фотонов в резонаторе лазера , связанного с его установившимся значением. Тогда выходная мощность такого лазера пропорциональна $~\exp(x)~$ и может проявлять пульсацию колебании при $~x~$.

Обе аналогии с частицей единичной массы и логарифмом числа фотонов полезны при анализе поведения осциллятора Тоды.

Энергия

Строго говоря, колебания являются периодическими только при $~u=v=0~$. Действительно, при реализации генератора Тоды как автоимпульсного лазера эти параметры могут иметь значения порядка $~10^{-4}~$; в течение нескольких импульсов амплитуда пульсации существенно не меняется. В этом случае можно говорить о периоде пульсации, поскольку функция $~x=x(t)~$ носит почти периодический характер.

В случае $~u=v=0~$, энергия осциллятора $~E={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}\right)^{2}+\Phi (x)~$ не зависит от $~z~$, и его можно рассматривать как константу движения. Тогда за один период пульсации соотношение между $~x~$ и $~z~$ можно выразить аналитически:

$z=\pm \int _{x_{\min }}^{x_{\max }}\!\!{\frac {{\rm {d}}a}{{\sqrt {2}}{\sqrt {E-\Phi (a)}}}}$

где $~x_{\min }~$ и $~x_{\max }~$ — минимальные и максимальные значения $~x~$; это решение написано для случая, когда ${\dot {x}}(0)=0$.

однако другие решения могут быть получены с использованием принципа трансляционной инвариантности .

Соотношение $~x_{\max }/x_{\min }=2\gamma ~$ – удобный параметр для характеристики амплитуды пульсации. Используя это, мы можем выразить медианное значение $\delta ={\frac {x_{\max }-x_{\min }}{1}}$как $\delta =\ln {\frac {\sin(\gamma )}{\gamma }}$;и энергия $E=E(\gamma )={\frac {\gamma }{\tanh(\gamma )}}+\ln {\frac {\sinh \gamma }{\gamma }}-1$также является элементарной функцией $~\gamma ~$.

В приложении количество $E$ не обязательно должна быть физической энергией системы; в этих случаях эту безразмерную величину можно назвать квазиэнергией .

Период пульсации

Период пульсации является возрастающей функцией амплитуды $~\gamma ~$.

Когда $~\gamma \ll 1~$, период $~T(\gamma )=2\pi \left(1+{\frac {\gamma ^{2}}{24}}+O(\gamma ^{4})\right)~$

Когда $~\gamma \gg 1~$, период $~T(\gamma )=4\gamma ^{1/2}\left(1+O(1/\gamma )\right)~$

Во всем диапазоне $~\gamma >0~$, период $~{T(\gamma )}~$ и частота $~k(\gamma )={\frac {2\pi }{T(\gamma )}}~$ может быть аппроксимировано

$k_{\text{fit}}(\gamma )={\frac {2\pi }{T_{\text{fit}}(\gamma )}}=$

$\left({\frac {10630+674\gamma +695.2419\gamma ^{2}+191.4489\gamma ^{3}+16.86221\gamma ^{4}+4.082607\gamma ^{5}+\gamma ^{6}}{10630+674\gamma +2467\gamma ^{2}+303.2428\gamma ^{3}+164.6842\gamma ^{4}+36.6434\gamma ^{5}+3.9596\gamma ^{6}+0.8983\gamma ^{7}+{\frac {16}{\pi ^{4}}}\gamma ^{8}}}\right)^{1/4}$

не менее чем до 8 значащих цифр . Относительная погрешность этого приближения не превышает $22\times 10^{-9}$.

Затухание пульсации

При небольших (но все же положительных) значениях $~u~$ и $~v~$, пульсация медленно затухает, и этот затух можно описать аналитически. В первом приближении параметры $~u~$ и $~v~$ давать аддитивные вклады в распад; скорость затухания, а также амплитуда и фаза нелинейных колебаний могут быть аппроксимированы элементарными функциями аналогично периоду, указанному выше. При описании поведения идеализированного генератора Тоды погрешность таких приближений меньше, чем различия между идеалом и его экспериментальной реализацией в виде автоимпульсного лазера на оптическом стенде . Однако автоимпульсный лазер демонстрирует качественно очень похожее поведение.

Непрерывный предел

Уравнения движения цепочки Тоды в непрерывном пределе, в котором расстояние между соседями стремится к нулю, становятся уравнением Кортевега – де Фриза (КдВ). Здесь новой пространственной координатой становится индекс, обозначающий частицу в цепочке.

Напротив, теория поля Тоды достигается за счет введения новой пространственной координаты, которая не зависит от метки индекса цепи. Это делается релятивистски инвариантным способом, так что время и пространство рассматриваются на равных основаниях. Это означает, что теория поля Тоды не является непрерывным пределом цепочки Тоды.