Производное изображения

Производные изображения можно вычислить с помощью небольших фильтров свертки размером 2 × 2 или 3 × 3, таких как операторы Лапласа , Собеля , Робертса и Превитта . ^[1] Однако маска большего размера обычно дает лучшее приближение производной, и примерами таких фильтров являются Гаусса. производные ^[2] и фильтры Габора . ^[3] Иногда необходимо удалить высокочастотный шум, и это можно включить в фильтр, чтобы ядро Гаусса действовало как полосовой фильтр. ^[4] Использование фильтров Габора ^[5] в обработке изображений было мотивировано некоторым сходством с восприятием зрительной системы человека. ^[6]

Значение пикселя вычисляется как свертка

p'_{u}=\mathbf {d} \ast G

где $\mathbf {d}$ является производным ядром и $G$ — значения пикселей в области изображения и $\ast$ — оператор, выполняющий свертку .

Производные Собеля

Производные ядра, известные как оператор Собеля, определяются следующим образом: $u$ и $v$ направления соответственно:

p'_{u}={\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\0&0&0\\-1&-2&-1\end{bmatrix}}*\mathbf {G} \quad {\mbox{and}}\quad p'_{v}={\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}*\mathbf {G}

где $*$ здесь обозначает двумерную операцию свертки .

Этот оператор отделим и может быть разложен как произведение интерполяции и дифференцирования. ядро, так что, $p'_{v}$ , для примера можно записать как

{\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}+1&0&-1\end{bmatrix}}

Производные Фарида и Симончелли

Фарид и Симончелли ^[7]^[8] предлагаю использовать пару ядер: одно для интерполяции, а другое для дифференцирования (сравните с Собелом выше). Эти ядра фиксированных размеров 5 x 5 и 7 x 7 оптимизированы таким образом, чтобы преобразование Фурье аппроксимировало правильное соотношение их производных.

В коде Matlab используется так называемый 5-кратный фильтр.

k  = [0.030320  0.249724  0.439911  0.249724  0.030320];
d  = [0.104550  0.292315  0.000000 -0.292315 -0.104550];
d2 = [0.232905  0.002668 -0.471147  0.002668  0.232905];

И 7-кратный фильтр

k  = [ 0.004711  0.069321  0.245410  0.361117  0.245410  0.069321  0.004711];
d  = [ 0.018708  0.125376  0.193091  0.000000 -0.193091 -0.125376 -0.018708];
d2 = [ 0.055336  0.137778 -0.056554 -0.273118 -0.056554  0.137778  0.055336];

В качестве примера производные первого порядка можно вычислить в следующем примере с использованием Matlab для выполнения свертки.

 
Iu = conv2(d, k, im, 'same');  % derivative vertically (wrt Y)
Iv = conv2(k, d, im, 'same');  % derivative horizontally (wrt X)

Отмечается, что Фарид и Симончелли вывели коэффициенты первой производной, которые являются более точными по сравнению с приведенными выше. Однако последние согласуются с интерполятором второй производной и, следовательно, их лучше использовать, если ищут как первую, так и вторую производные. В противоположном случае, когда требуется только первая производная, следует использовать оптимальные коэффициенты первой производной; более подробную информацию можно найти в их статье.

Производные Hast

Производные фильтры на основе произвольных кубических сплайнов были представлены Хастом. ^[9] Он показал, как производные первого и второго порядка можно вычислять более правильно, используя кубические или тригонометрические сплайны. Эффективные производные фильтры должны иметь нечетную длину, чтобы производная вычислялась для центрального пикселя. Однако любой кубический фильтр устанавливается на 4 точки выборки, давая центр, расположенный между пикселями. Эта проблема решается с помощью подхода двойной фильтрации, дающего фильтры размером 7 x 7. Идея состоит в том, чтобы сначала фильтровать путем интерполяции, чтобы получить интерполированное значение между пикселями, после чего процедура повторяется с использованием производных фильтров, где теперь падает центральное значение. по центрам пикселей. Это легко доказать с помощью ассоциативного закона для свертки.

p'_{u}=\mathbf {d} \ast (\mathbf {k} \ast G)=(\mathbf {d} \ast \mathbf {k} )\ast G

Поэтому ядро свертки для вычисления производной $\mathbf {k_{d}}$ использование интерполирующего ядра $\mathbf {k}$ и производное ядро $\mathbf {d}$ становится

\mathbf {k_{d}} =\mathbf {d} \ast \mathbf {k}

Также имейте в виду, что свертка коммутативна, поэтому порядок двух ядер не имеет значения, и также можно вставить производную второго порядка, а также ядро производной первого порядка. Эти ядра получены из того факта, что любая сплайновая поверхность может быть размещена в области квадратных пикселей, в отличие от поверхностей Безье . Хаст доказывает, что такую поверхность можно представить как сепарабельную свертку.

p(u,v)=\mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} =M^{T}\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}M\ast G

где $M$ - базовая матрица сплайна, $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ являются векторами, содержащими переменные $u$ и $v$ , такой как

\mathbf {u} =[u^{3},u^{2},u,1]^{T}

\mathbf {v} =[v^{3},v^{2},v,1]^{T}

Теперь ядра свертки можно установить на

\mathbf {k} =\mathbf {u} ^{T}M=(M^{T}\mathbf {v} )^{T}

\mathbf {d} ={\frac {\partial \mathbf {u} ^{T}}{\partial u}}M=\left(M^{T}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial v}}\right)^{T}

\mathbf {d^{2}} ={\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} ^{T}}{\partial u^{2}}}M=\left(M^{T}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {v} }{\partial v^{2}}}\right)^{T}

Таким образом, производные первого порядка в центральном пикселе вычисляются как

D_{u}={\frac {\partial \mathbf {u} ^{T}}{\partial u}}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}\mathbf {v} =\mathbf {d} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {k} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G

и

D_{v}=\mathbf {u} ^{T}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial v}}=\mathbf {k} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {d} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G

Аналогично, с производными второго порядка ядра

D_{u}^{2}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} ^{T}}{\partial u^{2}}}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}\mathbf {v} =\mathbf {d^{2}} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {k} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G

и

D_{v}^{2}=\mathbf {u} ^{T}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {v} }{\partial v^{2}}}=\mathbf {k} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {d^{2}} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G

Фильтр кубического сплайна оценивается в его центре. $u=v=0.5$ и поэтому

\mathbf {u} =\mathbf {v} =[(0.5)^{3},(0.5)^{2},0.5,1]^{T}=[0.125,0.25,0.5,1]^{T}

Аналогично производные первого порядка становятся

{\frac {\partial \mathbf {u} (0.5)}{\partial u}}={\frac {\partial \mathbf {v} (0.5)}{\partial v}}=[3\cdot (0.5)^{2},2\cdot (0.5),1,0]^{T}=[0.75,1,1,0]^{T}

Аналогично производные второго порядка равны

{\frac {d^{2}\mathbf {u} (0.5)}{u^{2}}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} (0.5)}{dv^{2}}}=[6\cdot (0.5),2,0,0]^{T}=[3,2,0,0]^{T}

Любой кубический фильтр может быть применен и использован для вычисления производных изображения с использованием приведенных выше уравнений, таких как Безье , Эрмита или B-сплайны .

В приведенном ниже примере в Matlab используется сплайн Catmull-Rom для вычисления производных.

 
M = [1,-3,3,-1; -1,4,-5,2; 0,1,0,-1; 0,0,2,0] * 0.5;
u = [0.125;0.25;0.5;1];
up = [0.75;1;1;0];
d = up'*M;
k = u'*M;
Iu = conv2(conv(d, k), conv(k, k), im,'same');  % vertical derivative (wrt Y)
Iv = conv2(conv(k, k), conv(d, k), im,'same');  % horizontal derivative (wrt X)

Другие подходы

Управляемые фильтры можно использовать для вычисления производных. ^[10] Более того, Савицкий и Голай ^[11] полиномиального сглаживания методом наименьших квадратов предложить подход , который можно использовать для вычисления производных, а Луо и др. ^[12] обсудим этот подход более подробно. Шарр ^[13]^[14]^[15] показывает, как создавать производные фильтры, минимизируя ошибку в области Фурье, и Яне и др. ^[16] более подробно обсудить принципы построения фильтров, в том числе производных фильтров.

Ссылки

^ Пратт, WK, 2007. Цифровая обработка изображений (4-е изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр. 465–522.
^ Х. Боума, А. Виланова, Х. О. Бескос, BMTH Ромени, Ф. А. Герритсен, Быстрые и точные гауссовы производные на основе b-сплайнов , в: Материалы 1-й Международной конференции по масштабному пространству и вариационным методам в компьютерном зрении, Springer-Verlag , Берлин, Гейдельберг, 2007, стр. 406–417.
^ П. Морено, А. Бернардино, Дж. Сантос-Виктор, Улучшение дескриптора просеивания с помощью гладких производных фильтров, Pattern Recognition Letters 30 (2009) 18–26.
^ Дж. Дж. Кендеринк, Эй. Джей ван Доорн, Общие операторы соседства , IEEE Trans. Паттерн Анал. Мах. Интел. 14 (1992) 597–605.
^ Д. Габор, Теория коммуникации, J. Inst. Электр. англ. 93 (1946) 429–457.
^ Дж. Г. Даугман, Полные дискретные двумерные преобразования Габора с помощью нейронных сетей для анализа и сжатия изображений, IEEE Trans. Акуст. Речевой сигнальный процесс. 36 (1988) 1169–1179.
^ Х. Фарид и Э. П. Симончелли, Дифференциация дискретных многомерных сигналов , IEEE Trans Image Processing, том 13 (4), стр. 496–508, апрель 2004 г.
^ Х. Фарид и Э.П. Симончелли, Оптимально вращательно-эквивариантные производные по направлению ядра , Международная конференция по компьютерному анализу изображений и шаблонов, стр. 207–214, сентябрь 1997 г.
^ А. Хаст., «Простая конструкция фильтра для производных первого и второго порядка с использованием подхода двойной фильтрации» , Pattern Recognition Letters, Vol. 42, № 1 июнь, с. 65--71. 2014.
^ В.Т. Фриман, Э.Х. Адельсон, Проектирование и использование управляемых фильтров , IEEE Trans. Паттерн Анал. Мах. Интел. 13 (1991) 891–906.
^ А. Савицкий, MJE Golay, Сглаживание и дифференциация данных с помощью упрощенных процедур наименьших квадратов , Анал. хим. 36 (1964) 1627–1639.
^ Дж. Луо, К. Ин, П. Хе, Дж. Бай, Свойства цифровых дифференциаторов Савицкого – Голея, Digit. Сигнальный процесс. 15 (2005) 122–136.
^ Х. Шарр, Оптимальные семейства фильтров производной второго порядка для прозрачной оценки движения , в: М. Домански, Р. Стасински, М. Бартковяк (ред.), EUSIPCO 2007.
^ Шарр, Ханно, 2000, Диссертация (на немецком языке), Оптимальные операторы в цифровой обработке изображений .
^ Б. Йене, Х. Шарр и С. Коркель. Принципы проектирования фильтров. В Справочнике по компьютерному зрению и приложениям. Академик Пресс, 1999.
^ Б. Йене, П. Гейсслер, Х. Хауссекер (редакторы), Справочник по компьютерному зрению и приложениям с Cdrom, 1-е изд., Morgan Kaufmann Publishers Inc., Сан-Франциско, Калифорния, США, 1999, стр. 125–151. (Глава 6).

Внешние ссылки

Derivative5.m Фарид и Симончелли: 5-Tap 1-я и 2-я дискретные производные.
Derivative7.m Фарид и Симончелли: 7-Tap 1-я и 2-я дискретные производные
kernel.m Hast: 1-я и 2-я дискретные производные для кубических сплайнов, сплайнов Катмулла-Рома, сплайнов Безье, B-сплайнов и тригонометрических сплайнов.

[1] Пратт, WK, 2007. Цифровая обработка изображений (4-е изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр. 465–522.

[2] Х. Боума, А. Виланова, Х. О. Бескос, BMTH Ромени, Ф. А. Герритсен, Быстрые и точные гауссовы производные на основе b-сплайнов , в: Материалы 1-й Международной конференции по масштабному пространству и вариационным методам в компьютерном зрении, Springer-Verlag , Берлин, Гейдельберг, 2007, стр. 406–417.

[3] П. Морено, А. Бернардино, Дж. Сантос-Виктор, Улучшение дескриптора просеивания с помощью гладких производных фильтров, Pattern Recognition Letters 30 (2009) 18–26.

[4] Дж. Дж. Кендеринк, Эй. Джей ван Доорн, Общие операторы соседства , IEEE Trans. Паттерн Анал. Мах. Интел. 14 (1992) 597–605.

[5] Д. Габор, Теория коммуникации, J. Inst. Электр. англ. 93 (1946) 429–457.

[6] Дж. Г. Даугман, Полные дискретные двумерные преобразования Габора с помощью нейронных сетей для анализа и сжатия изображений, IEEE Trans. Акуст. Речевой сигнальный процесс. 36 (1988) 1169–1179.

[7] Х. Фарид и Э. П. Симончелли, Дифференциация дискретных многомерных сигналов , IEEE Trans Image Processing, том 13 (4), стр. 496–508, апрель 2004 г.

[8] Х. Фарид и Э.П. Симончелли, Оптимально вращательно-эквивариантные производные по направлению ядра , Международная конференция по компьютерному анализу изображений и шаблонов, стр. 207–214, сентябрь 1997 г.

[9] А. Хаст., «Простая конструкция фильтра для производных первого и второго порядка с использованием подхода двойной фильтрации» , Pattern Recognition Letters, Vol. 42, № 1 июнь, с. 65--71. 2014.

[10] В.Т. Фриман, Э.Х. Адельсон, Проектирование и использование управляемых фильтров , IEEE Trans. Паттерн Анал. Мах. Интел. 13 (1991) 891–906.

[11] А. Савицкий, MJE Golay, Сглаживание и дифференциация данных с помощью упрощенных процедур наименьших квадратов , Анал. хим. 36 (1964) 1627–1639.

[12] Дж. Луо, К. Ин, П. Хе, Дж. Бай, Свойства цифровых дифференциаторов Савицкого – Голея, Digit. Сигнальный процесс. 15 (2005) 122–136.

[13] Х. Шарр, Оптимальные семейства фильтров производной второго порядка для прозрачной оценки движения , в: М. Домански, Р. Стасински, М. Бартковяк (ред.), EUSIPCO 2007.

[14] Шарр, Ханно, 2000, Диссертация (на немецком языке), Оптимальные операторы в цифровой обработке изображений .

[15] Б. Йене, Х. Шарр и С. Коркель. Принципы проектирования фильтров. В Справочнике по компьютерному зрению и приложениям. Академик Пресс, 1999.

[16] Б. Йене, П. Гейсслер, Х. Хауссекер (редакторы), Справочник по компьютерному зрению и приложениям с Cdrom, 1-е изд., Morgan Kaufmann Publishers Inc., Сан-Франциско, Калифорния, США, 1999, стр. 125–151. (Глава 6).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]