Стандартная линейная твердотельная модель

Стандартное линейное тело (SLS) , также известное как модель Зенера в честь Кларенса Зинера . ^[1] это метод моделирования поведения вязкоупругого материала с использованием линейной комбинации пружин и демпферов для представления упругих и вязких компонентов соответственно. Часто более простая модель Максвелла и модель Кельвина – Фойгта используются . Однако эти модели часто оказываются недостаточными; модель Максвелла не описывает ползучесть или восстановление, а модель Кельвина – Фойгта не описывает релаксацию напряжений. SLS — простейшая модель, предсказывающая оба явления.

Определение

Материалы, подвергающиеся деформации, часто моделируются с помощью механических компонентов, таких как пружины (компонент восстановительной силы) и демпферы (компонент демпфирования).

Последовательное соединение пружины и демпфера дает модель материала Максвелла , а параллельное соединение пружины и демпфера дает модель материала Кельвина-Фойгта . ^[2] В отличие от моделей Максвелла и Кельвина – Фойгта, SLS немного более сложна и включает элементы как последовательно, так и параллельно. Пружины, представляющие собой упругий компонент вязкоупругого материала, подчиняются закону Гука :

\sigma _{s}=E\varepsilon

где σ — приложенное напряжение, E — модуль Юнга материала, а ε — деформация. Пружина представляет собой упругий компонент реакции модели. ^[2]

Дэшпоты представляют собой вязкий компонент вязкоупругого материала. В этих элементах приложенное напряжение меняется в зависимости от скорости изменения деформации:

\sigma _{D}=\eta {\frac {d\varepsilon }{dt}}

где η — вязкость дешпотного компонента.

Решение модели

Для моделирования этой системы необходимо реализовать следующие физические соотношения:

Для параллельных компонентов: $\sigma _{tot}=\sigma _{1}+\sigma _{2}$ , и $\varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}$ . ^[2]

Для серийных компонентов: $\sigma _{tot}=\sigma _{1}=\sigma _{2}$ , и $\varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}$ . ^[2]

Представление Максвелла

Эта модель состоит из двух систем, работающих параллельно. Первый, называемый рычагом Максвелла, содержит пружину ( $E=E_{2}$ ) и Dashpot (вязкость $\eta$ ) последовательно. ^[2] Другая система содержит только пружину ( $E=E_{1}$ ).

Эти отношения помогают связать различные напряжения и напряжения в системе в целом и в руке Максвелла:

$\sigma _{tot}=\sigma _{m}+\sigma _{S_{1}}$

$\varepsilon _{tot}=\varepsilon _{m}=\varepsilon _{S_{1}}$

$\sigma _{m}=\sigma _{D}=\sigma _{S_{2}}$

$\varepsilon _{m}=\varepsilon _{D}+\varepsilon _{S_{2}}$

где индексы $m$ , $D$ , $S_{1}$ и $S_{2}$ обратитесь к Максвеллу, приборной панели, первой и второй пружинам соответственно.

Используя эти зависимости, их производные по времени и приведенные выше соотношения напряжения и деформации для пружин и элементов приборной панели, систему можно смоделировать следующим образом:

{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}+\sigma (t)-E_{1}\varepsilon (t)\right)}{E_{1}+E_{2}}}

^[3]

Уравнение также можно выразить как:

\sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}=E_{1}\varepsilon (t)+{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}

или, в точечной записи:

\sigma +{\frac {\eta }{E_{2}}}{\dot {\sigma }}=E_{1}\varepsilon +{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}

Время релаксации , $\tau$ , различен для каждого материала и равен

\tau ={\frac {\eta }{E_{2}}}

Представление Кельвина-Фойгта

Стандартная модель линейного тела, представление Кельвина

Эта модель состоит из двух последовательно соединенных систем. Первый, называемый рычагом Кельвина, содержит пружину ( $E=E_{2}$ ) и Dashpot (вязкость $\eta$ ) параллельно. Другая система содержит только пружину ( $E=E_{1}$ ).

Эти отношения помогают связать различные напряжения и напряжения в системе в целом и в руке Кельвина:

$\sigma _{tot}=\sigma _{k}=\sigma _{S_{1}}$

$\varepsilon _{tot}=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{S_{1}}$

$\sigma _{k}=\sigma _{D}+\sigma _{S_{2}}$

$\varepsilon _{k}=\varepsilon _{D}=\varepsilon _{S_{2}}$

где индексы $k$ , $D$ , $S_{1}$ ,и $S_{2}$ относятся к Кельвину, приборной панели, первой пружине и второй пружине соответственно.

Используя эти зависимости, их производные по времени и приведенные выше соотношения напряжения и деформации для пружин и элементов приборной панели, систему можно смоделировать следующим образом:

\sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon (t)+{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}

или, в точечной записи:

\sigma +{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\sigma }}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon +{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}

Время замедления , ${\bar {\tau }}$ , различен для каждого материала и равен

{\bar {\tau }}={\frac {\eta }{E_{2}}}

Характеристики модели

Стандартная линейная твердотельная модель сочетает в себе аспекты моделей Максвелла и Кельвина-Фойгта для точного описания общего поведения системы при заданном наборе условий нагрузки. Поведение материала, приложенного к мгновенному напряжению, показано как имеющее мгновенную составляющую реакции. Как и ожидалось, мгновенное снятие напряжения также приводит к прерывистому уменьшению напряжения. Форма кривой деформации, зависящей от времени, соответствует типу уравнения, которое характеризует поведение модели с течением времени в зависимости от того, как модель нагружена.

Хотя эту модель можно использовать для точного прогнозирования общей формы кривой деформации, а также поведения при длительных и мгновенных нагрузках, ей не хватает способности точно моделировать материальные системы численно.

Модель жидкости, эквивалентная стандартной линейной твердотельной модели, включает в себя приборную панель последовательно с моделью Кельвина – Фойгта и называется моделью Джеффриса. ^[4]

См. также

Ссылки

^ Холм, Сверре (2024). Уравнения акустических волн и четыре способа воздействия среды на скорость звука (PDF) . Том. 1.3. Университет Осло.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Дэвид Ройланс, «Инженерная вязкоупругость» (24 октября 2001 г.) http://ocw.mit.edu/courses/materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules/MIT3_11F99_visco .pdf
^ Кристин Дж. Ван Влит, Лекция курса 3.032 Массачусетского технологического института, 23 октября 2006 г. http://stellar.mit.edu/S/course/3/fa06/3.032/index.html
^ Джозеф, Дэниел Д. (27 ноября 2013 г.). Гидродинамика вязкоупругих жидкостей . Springer Science & Business Media. ISBN 9781461244622 .

[1] Холм, Сверре (2024). Уравнения акустических волн и четыре способа воздействия среды на скорость звука (PDF) . Том. 1.3. Университет Осло.

[Roylance-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Дэвид Ройланс, «Инженерная вязкоупругость» (24 октября 2001 г.) http://ocw.mit.edu/courses/materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules/MIT3_11F99_visco .pdf

[KJVV-3] Кристин Дж. Ван Влит, Лекция курса 3.032 Массачусетского технологического института, 23 октября 2006 г. http://stellar.mit.edu/S/course/3/fa06/3.032/index.html

[4] Джозеф, Дэниел Д. (27 ноября 2013 г.). Гидродинамика вязкоупругих жидкостей . Springer Science & Business Media. ISBN 9781461244622 .

[1]

[2]

[3]

[4]