Глубина Тьюки

В статистике и вычислительной геометрии глубина Тьюки является мерой глубины точки в фиксированном наборе точек. Концепция названа в честь ее изобретателя Джона Тьюки . Дан набор из n точек ${\mathcal {X}}_{n}=\{X_{1},\dots ,X_{n}\}$ в d -мерном пространстве глубина Тьюки точки x — это наименьшая доля (или количество) точек в любом замкнутом полупространстве , содержащем x .

Глубина Тьюки измеряет, насколько экстремальной является точка по отношению к облаку точек. Он используется для определения Bagplot , двумерного обобщения Boxplot .

Например, для любой крайней точки выпуклой оболочки всегда существует (замкнутое) полупространство, содержащее только эту точку, и, следовательно, его глубина Тьюки как дробь равна 1/n.

Определения

Глубина точки Тьюки x относительно облака точек. Синяя область иллюстрирует полупространство, содержащее x на границе. Полупространство также является наиболее крайним, поскольку оно содержит x, но как можно меньше наблюдений в облаке точек. Таким образом, доля точек, содержащихся в этом полупространстве, становится значением глубины Тьюки для x.

Выборка глубины Тьюки точки x или глубины Тьюки x относительно облака точек ${\mathcal {X}}_{n}$, определяется как

$D(x;{\mathcal {X}}_{n})=\inf _{v\in \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \{v^{T}(X_{i}-x)\geq 0\},$

где $\mathbf {1} \{\cdot \}$ — индикаторная функция , которая равна 1, если ее аргумент имеет значение true, или 0 в противном случае.

населения Тьюки Глубина x по отношению к распределению $P_{X}$ является

$D(x;P_{X})=\inf _{v\in \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}P(v^{T}(X-x)\geq 0),$

где X — случайная величина, следующая за распределением $P_{X}$.

Среднее значение Тьюки и отношение к центральной точке

Центральная точка c множества точек размера n — это не что иное, как точка глубины Тьюки не менее n /( d + 1).

См. также

• Центральная точка (геометрия)