Теорема Бони – Брезиса

В математике теорема Бони -Брезиса , придуманная французскими математиками Жаном-Мишелем Бони и Хаимом Брезисом , дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы замкнутое подмножество многообразия было инвариантным относительно потока, определяемого векторным полем , а именно в каждой точке. векторное поле замкнутого множества должно иметь неположительный внутренний продукт с любым вектором внешней нормали к множеству. Вектор является внешней нормалью в точке замкнутого множества, если существует непрерывно дифференцируемая функция с действительным знаком, локально максимизирующаяся в точке, причем этот вектор является ее производной в этой точке. Если замкнутое подмножество представляет собой гладкое подмногообразие с границей, условие гласит, что векторное поле не должно указывать за пределы подмножества в граничных точках. Обобщение на негладкие подмножества важно в теории уравнений в частных производных .

Фактически, эта теорема была ранее открыта Митио Нагумо в 1942 году и также известна как теорема Нагумо .

Заявление

Пусть F — замкнутое подмножество C ² многообразие M и пусть X — векторное поле на M , непрерывное по Липшицу . Следующие условия эквивалентны:

• Каждая интегральная кривая X , начинающаяся в F, в F. остается
• ( X ( m ), v ) ≤ 0 для каждого вектора внешней нормали v в точке m в F .

Доказательство

Следуя Хёрмандеру (1983) , чтобы доказать, что первое условие влечет за собой второе, пусть c ( t ) — интегральная кривая с c (0) = x в F и dc/dt = X ( c ). Пусть g имеет локальный максимум на F в точке x . Тогда g ( c ( t )) ⩽ g ( c (0)) для t малого и положительного. Дифференцируя, отсюда следует, что g '( x )⋅ X ( x ) ≤ 0.

Чтобы доказать обратное импликацию, поскольку результат локальный, достаточно проверить его в R ^н . В этом случае X локально удовлетворяет условию Липшица

$\displaystyle {|X(a)-X(b)|\leq C|a-b|.}$

Если F замкнуто, функция расстояния D ( x ) = d ( x , F ) ² обладает следующим свойством дифференцируемости:

$\displaystyle {D(x+h)=D(x)+\min _{z}2h\cdot (x-z)+o(|h|),}$

где минимум берется по ближайшим точкам z к x в F .

Чтобы проверить это, позвольте

$\displaystyle {f_{\varepsilon }(h)=\min _{z}2h\cdot (x-z),}$

где минимум берется по z в F так, что d ( x , z ) ≤ d ( x , F ) + ε.

Поскольку f _ε однороден по h и равномерно возрастает до f ₀ на любой сфере,

$\displaystyle {f_{0}(h)\geq f_{\varepsilon }(h)\geq f_{0}(h)-C(\varepsilon )|h|,}$

с константой C (ε), стремящейся к 0, когда ε стремится к 0.

Отсюда следует свойство дифференцируемости, поскольку

$\displaystyle {D(x+h)\leq |x+h-z|^{2}\leq |z-x|^{2}+2h\cdot (x-z)+|h|^{2}=D(x)+f_{0}(h)+|h|^{2}}$

и аналогично, если | ч | ≤ ε

$\displaystyle {D(x+h)\geq D(x)+f_{\varepsilon }(h)+|h|^{2}.}$

Свойство дифференцируемости означает, что

$\displaystyle {\lim {\delta \downarrow 0}{D(c(t+\delta ))-D(c(t)) \over \delta }=2\min _{z}X(c(t))\cdot (c(t)-z),}$

минимизировано по точкам z, ближайшим к c ( t ). Для любого такого z

$\displaystyle {2X(c(t))\cdot (c(t)-z)=2X(z)\cdot (c(t)-z)-2(X(z)-X(c(t)))\cdot (c(t)-z).}$

Поскольку −| y - c ( т )| ² имеет локальный максимум на F в точке y знак равно z , c ( t ) − z — вектор внешней нормали в точке z . Таким образом, первое слагаемое в правой части неотрицательно. Условие Липшица для X означает, что второй член ограничен сверху величиной 2 C ⋅ D ( c ( t )). Таким образом, от правой производная

$\displaystyle {e^{-2Ct}D(c(t))}$

неположителен, поэтому является невозрастающей функцией t . Таким образом, если c (0) лежит в F , D ( c (0))=0 и, следовательно, D ( c ( t )) = 0 для t > 0, т.е. c ( t ) лежит в F для t > 0.

Литература

• Нагумо, Митио (1942), «О положении интегральных кривых обыкновенных дифференциальных уравнений» , Nippon Sugaku-Buturigakkwai Kizi Dai 3 Ki , 24 : 551–559 (на немецком языке)
• Йорк, Джеймс А. (1967), «Инвариантность обыкновенных дифференциальных уравнений», Mathematical Systems Theory , 1 (4): 353–372, doi : 10.1007/BF01695169 , S2CID   5973578
• Бони, Жан-Мишель (1969), «Принцип максимума, неравенство Харнака и уникальность задачи Коши для вырождающихся эллиптических операторов» (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 19 : 277–304, doi : 10.5802/ aif.319 (на французском языке)
• Брезис, Хаим (1970), «О характеристике потоко-инвариантных множеств», Comm. Чистое приложение. Математика. , 223 (2): 261–263, doi : 10.1002/cpa.3160230211
• Редхеффер, Р.М. (1972), «Теоремы Бони и Брезиса о потоко-инвариантных множествах», The American Mathematical Monthly , 79 (7): 740–747, doi : 10.2307/2316263 , JSTOR   2316263
• Крэндалл, Майкл Г. (1972), «Обобщение теоремы существования Пеано и инвариантности потока», Proceedings of the American Mathematical Society , 36 (1): 151–155, doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0306586-2
• Фолькманн, Питер (1974), «О положительной инвариантности замкнутого подмножества банахова пространства относительно дифференциального уравнения u'= f (t, u)» , Журнал чистой и прикладной математики , 1976 (285): 59 –65, doi : 10.1515/crll.1976.285.59 , S2CID   117740430 (на немецком языке)
• Хёрмандер, Ларс (1983), Анализ операторов в частных производных I , Springer-Verlag, стр. 300–305, ISBN  3-540-12104-8 , Теорема 8.5.11
• Бланкини, Франко (1999), «Обзорный доклад: Инвариантность множеств в управлении», Automatica , 35 (11): 1747–1767, doi : 10.1016/S0005-1098(99)00113-2
• Вальтер, Вольфганг (1998). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Спрингер. ISBN  978-0387984599 .

См. также

• Барьерный сертификат