Полуабелева группа

Не путать с полуабелевой схемой .

Полуабелевы группы — это класс групп, впервые введенный Томпсоном (1984) и названный Мацатом (1987) . Он появляется в теории Галуа , при изучении обратной задачи Галуа или проблемы вложения , которая является обобщением первой.

Определение

Определение: Конечная группа G называется полуабелевой тогда и только тогда, когда существует последовательность

$G_{0}=\{1\},G_{1},\dots ,G_{n}=G$

такой, что $G_{i}$ является гомоморфным образом полупрямого произведения $A_{i}\rtimes G_{i-1}$ с конечной абелевой группой $A_{i}$ ( $i=1,\dots ,n$.).

Семья ${\mathcal {S}}$ конечных полуабелевых групп — минимальное семейство, содержащее тривиальную группу и замкнутое относительно следующих операций:

• Если $G\in {\mathcal {S}}$ действует на конечной абелевой группе $A$, затем $A\rtimes G\in {\mathcal {S}}$;
• Если $G\in {\mathcal {S}}$ и $N\triangleleft G$ является нормальной подгруппой , то $G/N\in {\mathcal {S}}$.
  

Класс конечных групп G с регулярной реализацией над $\mathbb {Q}$ замкнуто относительно полупрямых произведений с абелевыми ядрами , а также замкнуто относительно частных. Класс ${\mathcal {S}}$ — это наименьший класс конечных групп, которые обладают обоими этими свойствами замыкания, как упоминалось выше.

Пример

• Абелевы группы, группы диэдра и все p -группы порядка меньше $64$ являются полуабелевыми.
• Следующие утверждения эквивалентны для нетривиальной конечной группы G ( Дентцер 1995 , теорема 2.3):

  (i) G полуабелева.

  (ii) G обладает абелевой $A\triangleleft G$ и некоторую собственную полуабелеву подгруппу U с $G=AU$.

Следовательно, G является эпиморфизмом расщепляемого расширения группы с абелевым ядром.

• Конечные полуабелевы группы обладают G-реализациями. над функциональными полями $k(t)$ в одной переменной для любого поля $k$ и, следовательно, являются группами Галуа над каждым гильбертовым полем .

См. также

• Обратная задача Галуа
• Проблема встраивания
• Расширение Галуа

Ссылки

Библиография

• Блюм-Смит, Бенджамин (2014). «Полуабелевы группы и обратная задача Галуа» . Курантовский институт математических наук.
• Де Витт, Меган (2014). «Минимальное ветвление и обратная задача Галуа над полем рациональных функций Fp (t)» . Журнал теории чисел . 143 : 62–81. дои : 10.1016/j.jnt.2014.03.017 . S2CID   119155359 .
• Дентцер, Ральф (1995). «О геометрических задачах вложения и полуабелевых группах» . Манускрипта Математика . 86 : 199–216. дои : 10.1007/BF02567989 . S2CID   122932323 . Збл   0836.12002 .
• Кисилевский, Херши; Нефтин, Дэнни; Сонн, Джек (2010). «О проблеме минимального ветвления полуабелевых групп» . Алгебра и теория чисел . 4 (8): 1077–1090. arXiv : 0912.1964 . дои : 10.2140/ant.2010.4.1077 . S2CID   73636129 . Збл   1221.11218 .
• Кисилевский, Херши; Сонн, Джек (2010). «О проблеме минимального ветвления ℓ-групп» . Математическая композиция . 146 (3): 599–606. arXiv : 0811.2978 . дои : 10.1112/S0010437X10004719 . S2CID   16101476 .
• Легран, Франсуа (2022). «О конечных задачах вложения с абелевыми ядрами». Журнал алгебры . 595 : 633–659. arXiv : 2112.12170 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2021.12.026 . S2CID   245424796 .
• Мацат, Бернд Генрих (1987). «Задачи вложения над телами Гильберта». Конструктивная теория Галуа . Конспекты лекций по математике (на немецком языке). Том 1284. С. 215–268. дои : 10.1007/BFb0098329 . ISBN  978-3-540-18444-7 .
• Малле, Гюнтер; Мацат, Б. Генрих (1999). «Проблемы встраивания» . Обратная теория Галуа . Монографии Спрингера по математике. стр. 263–360. дои : 10.1007/978-3-662-12123-8_4 . ISBN  978-3-662-12123-8 .
• Мацат, Б.Х. (1995). «Параметрические решения задач встраивания». Последние достижения в обратной задаче Галуа . Современная математика. Том. 186. стр. 33–50. дои : 10.1090/conm/186/02174 . ISBN  9780821802991 .
• Нефтин, Дэнни (2011). «О полуабелевых p-группах» . Журнал алгебры . 344 : 60–69. arXiv : 0908.1472 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2011.07.016 . S2CID   16647073 .
  • Нефтин, Дэнни (2009). «О полуабелевых p-группах». arXiv : 0908.1472v2 [ math.GR ].
• Столл, Майкл (1995). «Построение полуабелевых расширений Галуа» . Математический журнал Глазго . 37 : 99–104. дои : 10.1017/S0017089500030433 . S2CID   122194283 .
• Шмид, Питер (2018). «Реализация 2-групп как групп Галуа по Шафаревичу и Серру» (PDF) . Алгебра и теория чисел . 12 (10): 2387–2401. дои : 10.2140/ant.2018.12.2387 . S2CID   126693959 .
• Томпсон, Джон Дж. (1984). «Некоторые конечные группы, которые появляются как gal L/K, где K ⊆ Q(μn)» . Журнал алгебры . 89 (2): 437–499. дои : 10.1016/0021-8693(84)90228-х . ISSN   0021-8693 .

Дальнейшее чтение

• Мацат, Б. Генрих (1991). «Состояние знаний в конструктивной теории Галуа». Теория представлений конечных групп и конечномерные алгебры (на немецком языке). стр. 65–98. дои : 10.1007/978-3-0348-8658-1_4 . ISBN  978-3-0348-9720-4 .
• Солтман, Дэвид Дж. (1982). «Общие расширения Галуа и проблемы теории поля» . Достижения в математике . 43 (3): 250–283. дои : 10.1016/0001-8708(82)90036-6 .

Внешние ссылки

• «Обратная задача Галуа (лекция 3) в программе летней школы для выпускников PCMI 2021 — Теория чисел на основе вычислений — 26–30 июля 2021 г.» . Архивировано из оригинала 16 февраля 2023 г.