Абелевский сорт

В математике , особенно в области алгебраической геометрии , сложного анализа и теории алгебраических чисел , абелевский сорт - это проективное алгебраическое сорт , который также является алгебраической группой , т.е. имеет групповой закон , который может быть определен по регулярным функциям . Абельские сорта одновременно являются среди наиболее изученных объектов в алгебраической геометрии и незаменимых инструментах для исследований по другим темам по алгебраической геометрии и теории чисел.

Абельский сорт может быть определен уравнениями, имеющими коэффициенты в любой области ; Затем говорят, что разнообразие определено на этой области. Исторически первыми исследуемыми авелевскими сортами были те, которые были определены в области комплексных чисел . Такие сорта авелеев оказываются именно теми сложными тори , которые могут быть голоморфически встроены в сложное проективное пространство .

Абельские разновидности, определенные по областям алгебраического числа, являются особым случаем, что важно с точки зрения теории чисел. Методы локализации естественным образом приводят от сортов Абелеи, определяемых по номеру, к тем, которые определены на конечных областях и различных местных областях . Поскольку числовое поле - это поле фракции домена Dedekind , для любого ненулевого расцвета от вашего домена Dedekind, из домена Dedekind есть карта до домена Dedekind от Prime, которая является конечным полем для всех конечных проведений. Полем Это вызывает карту из поля дробного поля в любое такое конечное поле. Учитывая кривую с уравнением, определенным в поле числа, мы можем применить эту карту к коэффициентам, чтобы получить кривую, определенную на некотором конечном поле, где выбор конечного поля соответствует конечным численным численным полем.

Абельские сорта появляются естественным образом, поскольку якобианские сорта (связанные компоненты нуля в сортах Пикарда ) и альбанесные сорта других алгебраических сортов. Групповой закон абельского сорта обязательно коммутативен , а разнообразие не является не-синглазным . Эллиптическая кривая - это разнообразие измерений в Авелевском языке 1 .

История и мотивация

В начале девятнадцатого века теория эллиптических функций преуспела в том, чтобы дать основу для теории эллиптических интегралов , и это оставило открытым очевидным направлением исследований. Стандартные формы для эллиптических интегралов включали квадратные корни кубических . и квартильных полиномов , когда они были заменены полиномами более высокой степени, По словам квинтики что произойдет?

В работе Нильса Абеля и Карла Якоби был сформулирован ответ: это будет включать функции двух сложных переменных , имеющих четыре независимых периода (т.е. векторы периода). Это дало первое представление о разнообразии измерения 2 ( поверхность авелевской поверхности 2: то, что теперь будет называться якобианским гипеллиптической кривой рода 2 .

После Абеля и Якоби некоторыми из наиболее важных участников теории функций Авелеи были Риманн , Вейерштрас , Фросениус , Пуанкаре и Пикард . Предмет был очень популярен в то время, уже имел большую литературу.

К концу 19 -го века математики начали использовать геометрические методы в изучении абельских функций. В конце концов, в 1920 -х годах Лефшетц заложил основу для изучения функций авелевского языка с точки зрения сложных тори. Он также кажется первым, кто использует название «Абелевский сорт». Именно Андре Вейл в 1940 -х годах дал субъекту свои современные основы на языке алгебраической геометрии.

Сегодня сорта авелевского языка образуют важный инструмент в теории чисел, в динамических системах (более конкретно в изучении гамильтонианских систем ) и в геометрии алгебраии (особенно сортов Пикарда и сортов альбанзе ).

Аналитическая теория

Определение

Сложный торус измерения G - это тор реального измерения 2 G , который несет структуру сложного коллектора . Его всегда можно получить в качестве коэффициента -мерного г комплексного векторного пространства с помощью решетки ранга 2 g . Сложное разнообразие измерения Gabelian G - это сложный торус измерения G , который также является проективным алгебраическим разнообразием в области сложных чисел. Вызывая теорему «Кодайра» и теорему Чоу , можно эквивалентно определить сложный разнообразие измерения Абелеи , как сложный торус измерения G , который допускает положительный пакет линии. Поскольку они сложны, абелианские сорта несут структуру группы . Морфизм элемент сортов авелевских сортов является морфизмом основных алгебраических сортов, которые сохраняют идентичности для групповой структуры. Изогенция - это морфизм конечного к одному.

Когда сложный тор несет структуру алгебраического сорта, эта структура обязательно уникальна. В случае $g=1$ Понятие разнообразия авелевского такого же, как и у эллиптической кривой , и каждый сложный тор порождает такую кривую; для $g>1$ было известно С Riemann , что алгебраическое состояние сорта налагает дополнительные ограничения на сложный торус.

Условия Римана

Следующий критерий Риманна решает, является ли данным сложным тором абельским разнообразием, т.е. может быть, можно ли он встроить в проективное пространство. Пусть x -g -размерный торус, данный как $X=V/L$ где V - сложное векторное пространство измерения g и l - решетка в v . Тогда x является разнообразием авелевского, если и только если существует положительная определенная гермитовая форма на v , воображаемая часть, воображаемая часть, использует интегральные значения на $L\times L$ Полем Такая форма на x обычно называется (негативной) формы римана . Выбор основы для V и L , можно сделать это состояние более явным. Есть несколько эквивалентных формулировок этого; Все они известны как условия Римана.

Якобиан алгебраической кривой

Каждая алгебраическая c рода кривая $g\geq 1$ ассоциируется с авелевским разнообразием j измерения G , посредством аналитической карты C в j . Как торус, J несет коммутативную групповую структуру, а изображение C генерирует J как группа. Точнее, J покрыт $C^{g}$ : ^{[ 1 ]} Любая точка в J происходит от G -Tuple точек в c . Изучение дифференциальных форм на C , которые приводят к интегралам абелеев, с которых началась теория, может быть получено из более простой, инвариантной теории дифференциалов перевода на j . Абелевский сорт J называется Jacobian разнообразием , C для любой не-симулярной кривой C по сложным числам. точки BIRATIA геометрии зрения С $C^{g}$ .

Абелевские функции

Функция авелевского языка является мероморфной функцией на абельском сорте, которая может рассматриваться как периодическая функция комплексных переменных N , имеющих 2 N независимых периодов; эквивалентно, это функция в поле функции абельского сорта. Например, в девятнадцатом веке был большой интерес к гиперэллиптическим интегралам , которые могут быть выражены с точки зрения эллиптических интегралов. Это сводится к тому, что J является продуктом эллиптических кривых, вплоть до изогения.

Важные теоремы

Одна важная теорема структуры абельских сортов - теорема Мацусаки . В нем говорится, что через алгебраически закрытое поле в каждом абельском сорте $A$ является достоинством якобияна какой -то кривой; то есть есть некоторое утверждение сортов авелевских $J\to A$ где $J$ Якобиан. Эта теорема остается верной, если поле земли бесконечно. ^{[ 2 ]}

Алгебраическое определение

два эквивалентных определения разнообразия авелевского языка по общей области k Обычно используются :

подключенная K и полная алгебраическая над группа
Подключенная . и проективная алгебраическая над k группа

Когда база является поле $\mathbb {C}$ Из сложных чисел эти представления совпадают с предыдущим определением. Во всех основаниях эллиптические кривые являются абельскими разновидностями измерения 1.

В начале 1940 -х годов Вейл использовал первое определение (над произвольным базовым полем), но сначала не мог доказать, что это подразумевает второе. Только в 1948 году он доказывал, что полные алгебраические группы могут быть включены в проективное пространство. Между тем, чтобы сделать доказательство гипотезы Римана для кривых над конечными областями , которые он объявил в 1940 году, ему пришлось представить понятие абстрактного разнообразия и переписать основы алгебраической геометрии для работы с разнообразиями без проектных поступающих (См. Также раздел истории в статье «Алгебраическая геометрия» ).

Структура группы очков

По определениям, абельский сорт - это групповое разнообразие. Его группа очков может быть доказана коммутативной .

Для поля $\mathbb {C}$ и, следовательно, по принципу лефшетца для каждого алгебраически закрытого поля характерного нуля , группа кручения абельского разнообразия измерений g является изоморфным для $(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{2g}$ Полем Следовательно, его n -тартионная часть изоморфна для $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}$ , т. Е. Продукт 2 г копий циклической группы порядка n .

Когда базовое поле представляет собой алгебраически закрытое поле характеристики P , N -портация все еще изоморфна $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}$ Когда n и p - коприм . Когда N и P не являются Coprime, тот же результат может быть восстановлен, при условии, что он интерпретирует его, сказав, что -портация определяет конечную плоскую групповую схему ранга 2 G. N Если вместо того, чтобы смотреть на полную структуру схемы на n -портации, рассматривает только геометрические точки, можно получить новый инвариант для разновидностей в характерной P (так называемый p -ранка, когда $n=p$ ).

Группа K -рациональных точек для глобального поля K теоремой конечно генерируется Mordell -Weil . Следовательно, по теореме структуры для конечных абельских групп , она является изоморфным продукту бесплатной абельской группы $\mathbb {Z} ^{r}$ и конечная коммутативная группа для какого-то неотрицательного целого числа , называемого званием абельского сорта. Аналогичные результаты сохраняются для некоторых других классов полей k .

Продукция

Продукт авелевского разнообразия M измерения измерения и абельского сорта B N , по той же области, является авелевским разнообразием измерений $m+n$ Полем Абельский сорт прост , если оно не является изогенным для продукта абельских разновидностей более низкого измерения. Любое абельское сорт изоген для продукта простых абельских сортов.

Поляризация и двойное разнообразие авелевского

Двойное авелевское разнообразие

К абельскому разнообразию над поле k , один ассоциирует двойное разнообразие авелевского языка $A^{\vee }$ (над тем же полем), которое является решением следующей задачи модулей . Семейство линии степени 0 пучков, параметризованных с помощью k -страховой , определяется как линейный пакет L на $A\times T$ так что

для всех t в t , ограничение L до $A\times \{t\}$ является границей 0 линий,
ограничение L до $\{0\}\times T$ это тривиальный пакет линии (здесь 0 - личность а ).

Тогда есть разнообразие $A^{\vee }$ и семейство границ 0 линейных пучков P , пучка Pincaré, параметризованный $A^{\vee }$ Такой, что семья L на T связана с уникальным морфизмом $f\colon T\to A^{\vee }$ так что L изоморфно для отката P вдоль морфизма $1_{A}\times f\colon A\times T\to A\times A^{\vee }$ Полем Применяя это к делу, когда t является точкой, мы видим, что точки $A^{\vee }$ соответствуют линейным пучкам степени 0 на A , поэтому на естественной группе операция на $A^{\vee }$ дано тензорным продуктом линейных пучков, что превращает его в абельский сорт.

Эта ассоциация является двойственностью в том смысле, что она противопоставлена функционированием , то есть она связывается со всеми морфизмом $f\colon A\to B$ двойные морфизмы $f^{\vee }\colon B^{\vee }\to A^{\vee }$ совместимым, и существует естественный изоморфизм между двойным двойным $(A^{\vee })^{\vee }$ и $A$ (определяется через пакет Puncaré). N n -torsion абельского разнообразия и N -портация его двойного, двойные друг к другу, когда является копейной для характеристики основания. В целом -для всех N -N двойные -Torsion Group схемы двойных сортов авелевских сортов -это дуалы друг друга. Это обобщает сочетание Weil для эллиптических кривых.

Поляризации

Поляризация изогенство абельского сорта представляет собой от абельского сорта до своего двойного, которое является симметричным по отношению к двойной двойной для сортов авелевского языка и для которого отказ от пучка пуанкаре вдоль связанного графического морфизма является достаточным (так что это аналогично. положительная квадратичная форма). Поляризованные сорта авелевских групп имеют конечные группы авторомфизма . Основная поляризация - это поляризация, которая является изоморфизмом. Якобианцы кривых естественным образом оснащены основной поляризацией, как только можно выбирать произвольную рациональную базовую точку на кривой, и кривая может быть реконструирована из его поляризованного якобияна, когда род был $>1$ Полем Не все в основном поляризованные абельские сорта являются якобианскими кривых; Смотрите проблему Шоттки . Поляризация вызывает инволюцию Rosati на кольце эндоморфизма $\mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q}$ из .

Поляризации над сложными числами

В комплексных числах поляризованный абельский сорт абельский сорт A вместе с выбором формы Riemann H. может быть определен как Две формы римана $H_{1}$ и $H_{2}$ называются эквивалентными, если есть положительные целые числа n и m такие, что $nH_{1}=mH_{2}$ Полем Выбор класса эквивалентности форм римана A называется поляризацией A ; на Над сложным числом это эквивалентно определению поляризации, приведенным выше. Морфизм поляризованных абельских сортов - это морфизм $A\to B$ из сортов авелевского такого, что откат формы Римана на B до A эквивалентен данной форме A. на

Абелевская схема

Можно также определить схему сортов авелевских сортов -теоретически и относительно базы . Это допускает равномерное обращение с такими явлениями, как восстановление мод P от абельских разновидностей (см. Арифметику сортов авелевских сортов ) и параметров-параметров абельских сортов. Абелевская схема по базовой схеме относительного измерения G является правильной , гладкой групповой схемой над S, геометрические волокна и , соединенные измерения g . Волокна абельской схемы - это сорта авелеев, поэтому можно думать о схеме авелевской по сравнению с S, как семейство абельских сортов, параметризованных s .

Для абелевой схемы $A/S$ Группа точек N -Торсии образует конечную схему плоской группы . Союз $p^{n}$ -Торсионные точки, для всех N , образует P-pre-premible Group . Деформации абельских схем, в соответствии с теоремой Serre -Tate , регулируемыми деформационными свойствами соответствующих P -дивизируемых групп.

Пример

Позволять $A,B\in \mathbb {Z}$ быть таким, что $x^{3}+Ax+B$ не имеет повторяющихся сложных корней. Тогда дискриминантный $\Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})$ это ненулевое. Позволять $R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]$ , так $\operatorname {Spec} R$ это открытая подразделение $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ Полем Затем $\operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})$ абелевская схема над $\operatorname {Spec} R$ Полем Это может быть расширен до модели Néron . $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ , которая является плавной групповой схемой. $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ , но модель Néron не является правильной и, следовательно, не является абелевой схемой. $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ .

Небытие

Виктор Абраскин [ ру ] ^{[ 3 ]} и Жан-Марк Фонтейн ^{[ 4 ]} независимо доказано, что нет ненулевых абельских сортов. $\mathbb {Q}$ с хорошим сокращением во всех простых числах. Эквивалентно, не существует ненулевых абельских схем. $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ Полем Доказательство включает в себя показ, что координаты $p^{n}$ Точки -точки генерируют численные поля с очень небольшим последствием и, следовательно, небольшого дискриминанта, в то время как, с другой стороны, существуют более низкие границы на дискриминантах чисел полей. ^{[ 5 ]}

Полуабельское разнообразие

Полуабельский сорт - это коммутативный групповой сорт, который является расширением абельского сорта Torus .

Смотрите также

Ссылки

^ Брюин Н. "N-Covers of Hyperelliptic кривых" (PDF) . Математический факультет Оксфордский университет . Получено 14 января 2015 года . J покрыт $C^{g}$ :
^ Milne, JS , Jacobian Varieties, в арифметической геометрии, Eds Cornell and Silverman, Springer-Verlag, 1986
^ Абрашкин, Вирджиния (1985). «Групповые схемы периода P над кольцом векторов Witt» . Докл. Акад. Nauk Sssr . 283 (6): 1289–1294. MR 0802862 . ZBL 0593.14029 .
^ Фонтейн, Жан-Марк (1985). "На абелианском разнообразии нет разнообразия $\mathbb {Z}$ ". Математика . 81 (3): 515-538. : 1985inmat..81..515f . DOI : 10.1007 / BF01388584 . MR 0807070. Bibcode ZBL 0612.14043 .
^ «Не существует схемы авелевской схемы над Z» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 23 августа 2020 года.

Источники

Биркенхак, Кристина; Lange, H. (1992), Сложные сорта Абелеи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-54747-3 Полем Комплексное отношение к сложной теории с обзором истории субъекта.
Dolgachev, IV (2001) [1994], «Абелевская схема» , Энциклопедия математики , Ems Press
Фалтингс, Герд ; Chai, Ching-Li (1990), Дегенерация абельских сортов , Springer Verlag , ISBN 3-540-52015-5
Милн, Джеймс, сорта Абелея , извлечены 6 октября 2016 года . Заметки на онлайн.
Mumford, David (2008) [1970], Абелевские сорта , Институт фундаментальных исследований Tata по математике, Vol. 5, Провиденс, RI: Американское математическое общество , ISBN 978-81-85931-86-9 , MR 0282985 , OCLC 138290
Венков, BB; Parshin, AN (2001) [1994], "Abelian_variety" , Энциклопедия математики , Ems Press
Bruin, n; Flynn, EV, N-Covers of Hyperelliptic Curves (PDF) , Оксфорд: Математический институт, Оксфордский университет . Описание якобияна кривых покрытия

[1] Брюин Н. "N-Covers of Hyperelliptic кривых" (PDF) . Математический факультет Оксфордский университет . Получено 14 января 2015 года . J покрыт $C^{g}$ :

[2] Milne, JS , Jacobian Varieties, в арифметической геометрии, Eds Cornell and Silverman, Springer-Verlag, 1986

[3] Абрашкин, Вирджиния (1985). «Групповые схемы периода P над кольцом векторов Witt» . Докл. Акад. Nauk Sssr . 283 (6): 1289–1294. MR 0802862 . ZBL 0593.14029 .

[4] Фонтейн, Жан-Марк (1985). "На абелианском разнообразии нет разнообразия $\mathbb {Z}$ ". Математика . 81 (3): 515-538. : 1985inmat..81..515f . DOI : 10.1007 / BF01388584 . MR 0807070. Bibcode ZBL 0612.14043 .

[5] «Не существует схемы авелевской схемы над Z» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 23 августа 2020 года.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]