Сферия

Модель « сферии » состоит из двух электронов , запертых на поверхности сферы радиусом $R$. Его использовали Берри и его коллеги. понять как слабо, так и сильно коррелированные системы и предложить «альтернативную» версию правила Хунда . Зейдль изучает эту систему в контексте теории функционала плотности (ТПФ) для разработки новых корреляционных функционалов в рамках адиабатической связи .

Определение и решение

Электронный гамильтониан в атомных единицах равен

${\hat {H}}=-{\frac {\nabla _{1}^{2}}{2}}-{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2}}+{\frac {1}{u}}$

где $u$ – межэлектронное расстояние. Тогда для синглетных S-состояний можно показать что волновая функция $S(u)$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера

$\left({\frac {u^{2}}{4R^{2}}}-1\right){\frac {d^{2}S(u)}{du^{2}}}+\left({\frac {3u}{4R^{2}}}-{\frac {1}{u}}\right){\frac {dS(u)}{du}}+{\frac {1}{u}}S(u)=ES(u)$

Введя безразмерную переменную $x=u/2R$, это становится уравнением Гойна с особыми точками в точках $x=-1,0,+1$. На основе известных решений уравнения Гойна ищем волновые функции вида

$S(u)=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\,u^{k}$

и подстановка в предыдущее уравнение дает рекуррентное соотношение

$s_{k+2}={\frac {s_{k+1}+\left[k(k+2){\frac {1}{4R^{2}}}-E\right]s_{k}}{(k+2)^{2}}}$

с начальными значениями $s_{0}=s_{1}=1$. Таким образом, условие возврата Като имеет вид

${\frac {S'(0)}{S(0)}}=1$.

Волновая функция сводится к полиному

$S_{n,m}(u)=\sum _{k=0}^{n}s_{k}\,u^{k}$

(где $m$ количество корней между $0$ и $2R$) тогда и только тогда, когда $s_{n+1}=s_{n+2}=0$. Таким образом, энергия $E_{n,m}$ является корнем полиномиального уравнения $s_{n+1}=0$ (где $\deg s_{n+1}=\lfloor (n+1)/2\rfloor$) и соответствующий радиус $R_{n,m}$ находится из предыдущего уравнения, которое дает

$R_{n,m}^{2}E_{n,m}={\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}+1\right)$

$S_{n,m}(u)$ является точной волновой функцией $m$-е возбужденное состояние синглетной S-симметрии для радиуса $R_{n,m}$.

Мы знаем из работ Лооса и Гилла. что энергия ВЧ нижнего синглетного S-состояния равна $E_{\rm {HF}}=1/R$. Отсюда следует, что точная корреляционная энергия для $R={\sqrt {3}}/2$ является $E_{\rm {corr}}=1-2/{\sqrt {3}}\approx -0.1547$ что значительно превышает предельные корреляционные энергии гелийподобных ионов ( $-0.0467$) или атомы Гука ( $-0.0497$). Это подтверждает мнение о том, что корреляция электронов на поверхности сферы качественно отличается от таковой в трехмерном физическом пространстве.

Сферий на 3-сфере

Лоос и Гилл рассмотрен случай двух электронов, удерживаемых в 3-сфере, отталкивающихся по кулоновскому принципу. Они сообщают об энергии основного состояния ( $-.0476$).

См. также

• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями

Дальнейшее чтение

• Лоос, П.-Ф.; Гилл, PMW (2009), «Два электрона на гиперсфере: квазиточно решаемая модель», Physical Review Letters , 103 (12): 123008, arXiv : 1002.3400 , Bibcode : 2009PhRvL.103l3008L , doi : 10.1103/physrevlett.103.123008 , PMID   19792435 , S2CID   11611242