Список квантово-механических систем с аналитическими решениями
Многое в квантовой механике можно получить, поняв решения в замкнутой форме нерелятивистского уравнения Шрёдингера, зависящего от времени . Он принимает форму
![{\displaystyle {\hat {H}}\psi \left(\mathbf {r},t\right)=\left[- {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2 }+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r},t\right)=i\hbar {\frac {\partial \psi \left(\mathbf { r} ,t\right)}{\partial t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4463c6c2c18f9700d47d4fe564ce55f9eb6528)
где – волновая функция системы, – гамильтонов оператор и это время. Стационарные состояния этого уравнения находятся путем решения нестационарного уравнения Шредингера:
![{\displaystyle \left[- {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\ mathbf {r} \right)=E\psi \left(\mathbf {r} \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3b9fd49f190be20aafd71fa382e901acf62607)
которое является уравнением собственных значений. Очень часто для данной физической системы и связанной с ней потенциальной энергии можно найти только численные решения уравнения Шредингера. Однако существует подмножество физических систем, для которых можно найти форму собственных функций и связанных с ними энергий или собственных значений. Эти квантово-механические системы с аналитическими решениями перечислены ниже.
Разрешимые системы
[ редактировать ]- Квантовая система с двумя состояниями (самая простая возможная квантовая система)
- Свободная частица
- Дельта -потенциал
- Двойной дельта-потенциал Дирака
- Частица в ящике / бесконечная потенциальная яма
- Конечная потенциальная яма
- Одномерный треугольный потенциал
- Частица в кольце или кольцевом волноводе
- Частица в сферически-симметричном потенциале
- Квантовый гармонический осциллятор
- Квантовый гармонический генератор с приложенным однородным полем [1]
- Атом водорода или водородоподобный атом, например позитроний.
- Атом водорода в сферической полости с граничными условиями Дирихле [2]
- Частица в одномерной решетке (периодический потенциал)
- Частица в одномерной решетке конечной длины [3]
- Морса Потенциал
- Потенциал Ми [4]
- Потенциал шага
- Линейный жесткий ротор
- Симметричный верх
- Атом Гука
- Атом сферия
- Взаимодействие нулевой дальности в гармонической ловушке [5]
- Квантовый маятник
- Прямоугольный потенциальный барьер
- Потенциал Пёшля – Теллера
- Обратный квадратный корневой потенциал [6]
- Многогосударственные модели Ландау – Зинера [7]
- Жидкость Латтинжера (единственное точное квантовомеханическое решение модели, включающей межчастичные взаимодействия)
См. также
[ редактировать ]- Список квантово-механических потенциалов - список физически значимых потенциалов без учета аналитической растворимости.
- Список интегрируемых моделей
- Приближение ВКБ
- Квазиточно решаемые задачи
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Ходжсон, MJP (2021). «Аналитическое решение нестационарного уравнения Шредингера для одномерного квантового гармонического осциллятора с приложенным однородным полем». дои : 10.13140/RG.2.2.12867.32809 .
{{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется|journal=( помощь ) - ^ Скотт, штат Техас; Чжан, Вэньсин (2015). «Эффективные гибридно-символические методы квантово-механических расчетов». Компьютерная физика. Коммуникации . 191 : 221–234. Бибкод : 2015CoPhC.191..221S . дои : 10.1016/j.cpc.2015.02.009 .
- ^ Рен, СЮ (2002). «Два типа электронных состояний в одномерных кристаллах конечной длины». Анналы физики . 301 (1): 22–30. arXiv : cond-mat/0204211 . Бибкод : 2002АнФиз.301...22Р . дои : 10.1006/aphy.2002.6298 . S2CID 14490431 .
- ^ Север; Букургат; Тезкан; Есилтас (2007). «Решение в связанном состоянии уравнения Шредингера для потенциала Ми». Журнал математической химии . 43 (2): 749–755. дои : 10.1007/s10910-007-9228-8 . S2CID 9887899 .
- ^ Буш, Томас; Энглерт, Бертольд-Георг; Ржажевский, Казимеж; Уилкенс, Мартин (1998). «Два холодных атома в гармонической ловушке». Основы физики . 27 (4): 549–559. дои : 10.1023/А:1018705520999 . S2CID 117745876 .
- ^ Ишханян, А.М. (2015). «Точное решение уравнения Шредингера для обратного квадратного корневого потенциала ". Europhysical Letters . 112 (1): 10006. arXiv : 1509.00019 . doi : 10.1209/0295-5075/112/10006 . S2CID 119604105 .
- ^ Н.А. Синицын; В.Я. Черняк (2017). «Поиски разрешимых моделей Ландау-Зинера с несколькими состояниями». Физический журнал A: Математический и теоретический . 50 (25): 255203. arXiv : 1701.01870 . Бибкод : 2017JPhA...50y5203S . дои : 10.1088/1751-8121/aa6800 . S2CID 119626598 .
Чтение материалов
[ редактировать ]- Мэттис, Дэниел К. (1993). Задача многих тел: энциклопедия точно решаемых моделей в одном измерении . Всемирная научная . ISBN 978-981-02-0975-9 .