Теория коорбит

В математике теория коорбит была разработана Гансом Георгом Файхтингером и Карлхайнцем Грёхенигом примерно в 1990 году. предоставляет теорию атомного разложения ряда банаховых пространств распределений Он . хорошо известное вейвлет-преобразование и кратковременное преобразование Фурье Среди прочего, теория охватывает .

Отправной точкой является квадратное интегрируемое представление. $\pi$ локально компактной группы ${\mathcal {G}}$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$, с помощью которого можно определить преобразование функции $f\in {\mathcal {H}}$ относительно $g\in {\mathcal {H}}$ к $V_{g}f(x)=\langle f,\pi (x)g\rangle$. Многие важные преобразования являются частными случаями преобразования, например, кратковременное преобразование Фурье и вейвлет-преобразование для группы Гейзенберга и аффинной группы соответственно. Теория представлений дает воспроизводящую формулу $V_{g}f=V_{g}f*V_{g}g$. Путем дискретизации этого непрерывного интеграла свертки можно показать, что при достаточно плотной выборке в фазовом пространстве соответствующие функции будут охватывать фрейм гильбертова пространства.

Важным аспектом теории является вывод атомных разложений банаховых пространств. Одним из ключевых шагов является естественное определение преобразования голоса для распределений. Для данного банахова пространства $Y$соответствующее пространство коорбит определяется как набор всех распределений таких, что $V_{g}f\in Y$. Воспроизводящая формула верна и в этом случае, и поэтому можно получить атомные разложения для пространств коорбит.