Стабильность (вероятность)

В теории вероятностей устойчивость величины случайной — это свойство , при котором линейная комбинация двух независимых копий переменной имеет одинаковое распределение с точностью до местоположения и масштаба . параметров ^[1] Распределения случайных величин, обладающие этим свойством, называются «стабильными распределениями». Результаты, доступные в теории вероятностей, показывают, что все возможные распределения, обладающие этим свойством, являются членами четырехпараметрического семейства распределений. В статье о стабильном распределении описывается это семейство вместе с некоторыми свойствами этих распределений.

Важность «стабильности» и стабильного семейства вероятностных распределений в теории вероятностей заключается в том, что они являются «аттракторами» для правильно нормированных сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Важными частными случаями устойчивых распределений являются нормальное распределение , распределение Коши и распределение Леви . Подробности смотрите в стабильном выпуске .

Определение [ править ]

Существует несколько основных определений того, что подразумевается под стабильностью. Некоторые из них основаны на суммировании случайных величин, другие — на свойствах характеристических функций .

Определение через функции распределения [ править ]

Феллер ^[2] дает следующее основное определение. Случайная величина называется стабильной (имеет устойчивое распределение), если для n независимых копий X _i X X существуют константы c _n > 0 и d _n такие, что

X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}{\stackrel {d}{=}}c_{n}X+d_{n},

где это равенство относится к равенству распределений. Вывод, сделанный из этой отправной точки, состоит в том, что последовательность констант c _n должна иметь вид

c_{n}=n^{1/\alpha }\,

для

0<\alpha \leq 2.

Дальнейший вывод состоит в том, что приведенного выше тождества распределения достаточно только для n =2 и n =3. ^[3]

Стабильность в теории вероятностей [ править ]

Существует ряд математических результатов, которые можно получить для распределений, обладающих свойством устойчивости. все возможные семейства распределений, обладающие свойством замкнутости при свертке . То есть рассматриваются ^[4] Здесь удобно называть эти распределения стабильными, не имея в виду конкретно описанное в статье распределение под названием стабильное распределение , или говорить, что распределение стабильно, если предполагается, что оно обладает свойством устойчивости. Следующие результаты могут быть получены для одномерных распределений устойчивых .

Стабильные распределения всегда бесконечно делимы . ^[5]
Все стабильные распределения абсолютно непрерывны . ^[6]
Все стабильные распределения унимодальны . ^[7]

Другие типы стабильности [ править ]

Вышеупомянутая концепция устойчивости основана на идее замкнутости класса распределений при заданном наборе операций над случайными величинами, где операцией является «суммирование» или «усреднение». Другие операции, которые были рассмотрены, включают:

геометрическая стабильность : здесь операция заключается в взятии суммы случайного числа случайных величин, где число имеет геометрическое распределение . ^[8] Аналогом устойчивого распределения в этом случае является геометрическое устойчивое распределение.
Макс-стабильность : здесь операция состоит в том, чтобы взять максимальное количество случайных величин. Аналогом стабильного распределения в этом случае является обобщенное распределение экстремальных значений , и теория для этого случая рассматривается как теория экстремальных значений . См. также постулат стабильности . Версия этого случая, в которой вместо максимума берется минимум, доступна посредством простого расширения.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Лукач, Э. (1970) Раздел 5.7
^ Феллер (1971), Раздел VI.1
^ Феллер (1971), Задача VI.13.3
^ Лукач, Э. (1970) Раздел 5.7
^ Лукач, Э. (1970) Теорема 5.7.1
^ Лукач, Э. (1970) Теорема 5.8.1
^ Лукач, Э. (1970) Теорема 5.10.1
^ Klebanov et al. (1984)

Ссылки [ править ]

Лукач, Э. (1970) Характеристические функции. Гриффин, Лондон.
Феллер, В. (1971) Введение в теорию вероятностей и ее приложения , том 2. Уайли. ISBN 0-471-25709-5
Клебанов Л.Б., Мания Г.М., Меламед И.А. (1984) "Задача В.М. Золотарева и аналоги бесконечно делимых и устойчивых распределений в схеме суммирования случайного числа случайных величин". Теория вероятностей. Прил. , 29, 791–794

[1] Лукач, Э. (1970) Раздел 5.7

[2] Феллер (1971), Раздел VI.1

[3] Феллер (1971), Задача VI.13.3

[4] Лукач, Э. (1970) Раздел 5.7

[5] Лукач, Э. (1970) Теорема 5.7.1

[6] Лукач, Э. (1970) Теорема 5.8.1

[7] Лукач, Э. (1970) Теорема 5.10.1

[8] Klebanov et al. (1984)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]