Квадратурная формула Гаусса – Кронрода

Квадратурная формула Гаусса -Кронрода представляет собой адаптивный метод численного интегрирования . Это вариант квадратуры Гаусса , в которой точки оценки выбираются так, чтобы можно было вычислить точную аппроксимацию путем повторного использования информации, полученной в результате вычисления менее точной аппроксимации. Это пример того, что называется вложенным квадратурным правилом : для одного и того же набора точек оценки функции оно имеет два квадратурных правила, одно более высокого порядка и одно более низкого порядка (последнее называется встроенным правилом). Разница между этими двумя приближениями используется для оценки расчетной погрешности интегрирования.

Эти формулы названы в честь Александра Кронрода , придумавшего их в 1960-х годах, и Карла Фридриха Гаусса .

Описание

Задача численного интегрирования состоит в приближении определенных интегралов вида

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Такие интегралы можно аппроксимировать, например, n -точечной гауссовой квадратурой

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),$

где w _i , xi _— веса и точки , в которых можно оценить функцию f ( x ).

Если интервал [ a , b ] подразделяется, точки оценки Гаусса новых подинтервалов никогда не совпадают с предыдущими точками оценки (за исключением средней точки для нечетного числа точек оценки), и поэтому подынтегральная функция должна вычисляться в каждой точке. Формулы Гаусса – Кронрода представляют собой расширения квадратурных формул Гаусса, созданных добавлением $n+1$ указывает на $n$-точечное правило таким образом, чтобы результирующее правило имело порядок $3n+1$ ( Лори (1997 , стр. 1133); соответствующее правило Гаусса имеет порядок $2n-1$). Эти дополнительные точки являются нулями полиномов Стилтьеса . Это позволяет вычислять оценки более высокого порядка, повторно используя значения функции оценки более низкого порядка. Разницу между правилом квадратур Гаусса и его расширением Кронрода часто используют для оценки ошибки аппроксимации.

Пример

Популярный пример сочетает правило Гаусса из 7 пунктов с правилом Кронрода из 15 пунктов ( Каханер, Молер и Нэш 1989 , §5.5). Поскольку точки Гаусса включены в точки Кронрода, всего требуется всего 15 оценок функции.

(G7, K15) on [−1,1]

Узлы Гаусса		Веса
±0.94910 79123 42759	∗	0.12948 49661 68870
±0.74153 11855 99394	∗	0.27970 53914 89277
±0.40584 51513 77397	∗	0.38183 00505 05119
0.00000 00000 00000	∗	0.41795 91836 73469
Узлы Кронрода		Веса
±0.99145 53711 20813		0.02293 53220 10529
±0.94910 79123 42759	∗	0.06309 20926 29979
±0.86486 44233 59769		0.10479 00103 22250
±0.74153 11855 99394	∗	0.14065 32597 15525
±0.58608 72354 67691		0.16900 47266 39267
±0.40584 51513 77397	∗	0.19035 05780 64785
±0.20778 49550 07898		0.20443 29400 75298
0.00000 00000 00000	∗	0.20948 21410 84728

Затем интеграл оценивается по правилу Кронрода. $K15$ и ошибку можно оценить как $|G7-K15|$.

Для произвольного интервала $[a,b]$ позиции узлов $x_{i}$ и веса $w_{i}$ масштабируются к интервалу следующим образом:

$x_{i,{\text{scaled}}}={\frac {x_{i}+1}{2}}(b-a)+a$

$w_{i,{\text{scaled}}}=w_{i}{\frac {b-a}{2}}$

Паттерсон (1968) показал, как находить дальнейшие расширения этого типа, Писсенс и Брандерс (1974) и Монегато (1978) предложили улучшенные алгоритмы , и, наконец, наиболее эффективный алгоритм был предложен Лори (1997) . Коэффициенты четырехкратной точности (34 десятичных знака) для (G7, K15), (G10, K21), (G15, K31), (G20, K41) и других рассчитаны и сведены в таблицы.

Реализации

Подпрограммы для квадратур Гаусса–Кронрода предоставляются библиотекой QUADPACK , Научной библиотекой GNU , Числовыми библиотеками NAG , R , C ++ библиотека Boost ., а также пакет Julia QuadGK.jl (который может вычислять формулы Гаусса – Кронрода с произвольной точностью ).

См. также

• Квадратура Кленшоу – Кертиса , еще одно вложенное правило квадратур с аналогичной точностью.

Ссылки

• «Квадратурная формула Гаусса – Кронрода» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Каханер, Дэвид; Молер, Клив ; Нэш, Стивен (1989), Численные методы и программное обеспечение , Прентис-Холл , ISBN  978-0-13-627258-8
• Кронрод, Александр Семенович (1965), Узлы и веса квадратурных формул. Шестнадцатизначные таблицы , Нью-Йорк: Консультантское бюро (Авторизованный перевод с русского)
• Писсенс, Роберт; де Донкер-Капенга, Элиза; Уберхубер, Кристоф В. [на немецком языке] ; Каханер, Дэвид К. (1983), QUADPACK, Пакет подпрограмм для автоматической интеграции , Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-12553-2 (Справочное руководство по QUADPACK)
• Паттерсон, Томас Н.Л. (1968), «Оптимальное добавление точек к квадратурным формулам», Math. Вычислить. , 22 (104): 847–856 и C1–C11, doi : 10.2307/2004583 , JSTOR   2004583 . Ошибка в математике. Вычислить. 23 : 892.
• Писсенс, Роберт; Брандерс, Мария (1974), «Заметки об оптимальном добавлении абсцисс к квадратурным формулам Гаусса и Лобатто», Mathematics of Computing , 28 (125): 135–139, doi : 10.2307/2005820 , JSTOR   2005820
• Монегато, Джованни (1978), «Некоторые замечания по построению расширенных правил квадратур Гаусса», Mathematics of Computation , 32 (141): 247–252, doi : 10.2307/2006272 , JSTOR   2006272
• Лори, Дирк (1997), «Расчет квадратурных правил Гаусса-Кронрода», Mathematics of Computation , 66 (219): 1133–1145, doi : 10.1090/s0025-5718-97-00861-2

Внешние ссылки

• QUADPACK (часть SLATEC) , исходный код [1] . QUADPACK — это набор алгоритмов на Фортране для численного интегрирования, основанных на правилах Гаусса-Кронрода. SLATEC (в Netlib ) — крупная общедоступная библиотека для численных вычислений.
• Исходный код ALGLIB на C#, C++, Delphi и Visual Basic.