Оператор конечного ранга

В функциональном анализе , ветви математики, оператор конечного ранга является ограниченным линейным оператором между банахами которого , диапазоном является конечным размером.

Операторы с конечным рангом на пространстве Гильберта

Каноническая форма

Операторы конечных рангов-это матрицы (конечного размера), трансплантированные в бесконечную размерную настройку. Таким образом, эти операторы могут быть описаны с помощью линейных методов алгебры.

Из линейной алгебры мы знаем, что прямоугольная матрица со сложными записями, $M\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ имеет звание $1$ тогда и только тогда $M$ имеет форму

$M=\alpha \cdot uv^{*},\quad {\mbox{where}}\quad \|u\|=\|v\|=1\quad {\mbox{and}}\quad \alpha \geq 0.$

Точно такой же аргумент показывает, что оператор $T$ на пространстве Гилберта $H$ содержит звание $1$ тогда и только тогда

$Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad {\mbox{for all}}\quad h\in H,$

где условия на $\alpha ,u,v$ такие же, как в конечном размерном случае.

Следовательно, по индукции оператор $T$ конечного ранга $n$ принимает форму

$Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\mbox{for all}}\quad h\in H,$

где $\{u_{i}\}$ и $\{v_{i}\}$ ортонормальные основания. Обратите внимание, что это, по сути, является повторным декомпозицией единственной стоимости . Можно сказать, что это каноническая форма операторов конечного ранга.

Слегка обобщение, если $n$ теперь считается бесконечным и последовательность положительных чисел $\{\alpha _{i}\}$ накапливаться только в $0$, $T$ тогда является компактным оператором , и один имеет каноническую форму для компактных операторов.

Компактные операторы - это класс трассировки, только если серия ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ конверген; свойство, которое автоматически удерживается для всех операторов конечного ранга.

Алгебраическое свойство

Семья операторов конечного ранга $F(H)$ на пространстве Гилберта $H$ сформировать двухсторонний *-идал в $L(H)$, алгебра ограниченных операторов на $H$Полем На самом деле это минимальный элемент среди таких идеалов, то есть любой двухсторонний *-идальный $I$ в $L(H)$ Должен содержать операторы конечного ранга. Это не сложно доказать. Возьмите ненулевого оператора $T\in I$, затем $Tf=g$ для некоторых $f,g\neq 0$Полем Этого достаточно для любого $h,k\in H$, оператор ранга-1 $S_{h,k}$ эти карты $h$ к $k$ лежит в $I$Полем Определять $S_{h,f}$ быть оператором ранга-1, который карты $h$ к $f$, и $S_{g,k}$ аналогично. Затем

$S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,$

что означает $S_{h,k}$ находится в $I$ И это проверяет требование.

Некоторые примеры двусторонних *-идал в $L(H)$ Являются ли трасс-класс , операторы Hilbert-Schmidt и компактные операторы . $F(H)$ плотный во всех трех из этих идеалов, в их соответствующих нормах.

Поскольку любой двухсторонний идеал в $L(H)$ должен содержать $F(H)$Алгебра $L(H)$ это просто тогда и только тогда, когда это конечный размерный.

Операторы с конечным рангом на банашском пространстве

Оператор конечного ранга $T:U\to V$ Между банаховыми пространствами является ограниченный оператор , так что его диапазон является конечным размером. Как и в космическом корпусе Hilbert, он может быть написан в форме

$Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad {\mbox{for all}}\quad h\in U,$

где сейчас $v_{i}\in V$, и $u_{i}\in U'$ ограниченные линейные функционалы в пространстве $U$.

Ограниченный линейный функционал-это конкретный случай оператора конечного ранга, а именно первого ранга.