Вектор вероятности

«Стохастический вектор» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о понятии случайного вектора, см. Многомерную случайную величину .

В математике и статистике вектор вероятности или стохастический вектор — это вектор с неотрицательными элементами, сумма которых равна единице.

Позиции (индексы) вектора вероятности представляют собой возможные результаты дискретной случайной величины , а вектор дает нам функцию массы вероятности этой случайной величины, что является стандартным способом характеристики дискретного распределения вероятностей .

Примеры

Вот несколько примеров векторов вероятности. Векторы могут быть столбцами или строками.

• $x_{0}={\begin{bmatrix}0.5\\0.25\\0.25\end{bmatrix}},$
• $x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},$
• $x_{2}={\begin{bmatrix}0.65&0.35\end{bmatrix}},$
• $x_{3}={\begin{bmatrix}0.3&0.5&0.07&0.1&0.03\end{bmatrix}}.$

интерпретация

Запись векторных компонентов вектора $p$ как

$p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad p={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&\cdots &p_{n}\end{bmatrix}}$

компоненты вектора должны в сумме давать единицу:

$\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$

Каждый отдельный компонент должен иметь вероятность от нуля до единицы:

$0\leq p_{i}\leq 1$

для всех $i$. Следовательно, набор стохастических векторов совпадает со стандартным $(n-1)$-симплекс . Это точка, если $n=1$, сегмент, если $n=2$, (закрашенный) треугольник, если $n=3$, (заполненный) тетраэдр $n=4$, и т. д.

Свойства

• Среднее значение любого вектора вероятности равно $1/n$.
• Кратчайший вектор вероятности имеет значение $1/n$ как каждый компонент вектора, и имеет длину ${\textstyle 1/{\sqrt {n}}}$.
• Самый длинный вектор вероятности имеет значение 1 в одном компоненте и 0 во всех остальных, а его длина равна 1.
• Самый короткий вектор соответствует максимальной неопределенности, самый длинный — максимальной уверенности.
• Длина вектора вероятности равна ${\textstyle {\sqrt {n\sigma ^{2}+1/n}}}$; где $\sigma ^{2}$ — дисперсия элементов вектора вероятности.

См. также

• Стохастическая матрица
• Распределение Дирихле