Треугольник «точка-нормаль»

Искривленный треугольник с нормалью к точке , сокращенно треугольник PN , представляет собой алгоритм интерполяции для извлечения кубического треугольника Безье из координат вершин обычного плоского треугольника и векторов нормалей . Треугольник PN сохраняет вершины плоского треугольника, а также соответствующие нормали. Для приложений компьютерной графики дополнительно создается линейный или квадратичный интерполянт нормалей, чтобы представить неправильную, но правдоподобную нормаль при рендеринге и, таким образом, создать впечатление плавных переходов между соседними PN-треугольниками. Использование треугольника PN позволяет визуализировать поверхности на основе треугольников более гладкой формы с меньшими затратами с точки зрения сложности и времени рендеринга.

Математическая формулировка

С информацией о заданных позициях вершин ${\textstyle \mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{2},\mathbf {P} _{3}\in \mathbb {R} ^{3}}$ плоского треугольника и соответствующие ему векторы нормалей ${\textstyle \mathbf {N} _{1},\mathbf {N} _{2},\mathbf {N} _{3}}$ в вершинах построен кубический треугольник Безье. В отличие от обозначения страницы треугольника Безье, номенклатура соответствует Г. Фарину (2002): поэтому мы обозначаем 10 контрольных точек как ${\textstyle \mathbf {b} _{ijk}}$ с положительными индексами, обеспечивающими условие ${\textstyle i+j+k=3}$.

Первые три контрольные точки равны заданным вершинам. $${\begin{aligned}\mathbf {b} _{300}&=\mathbf {P} _{1},&\mathbf {b} _{030}&=\mathbf {P} _{2},&\mathbf {b} _{003}&=\mathbf {P} _{3}\end{aligned}}$$ Шесть контрольных точек, относящихся к ребрам треугольника, т.е. ${\textstyle i,j,k=\left\{0,1,2\right\}}$ вычисляются как $${\begin{aligned}\mathbf {b} _{012}&={\frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{2}-\omega _{32}\mathbf {N} _{3}\right),&\mathbf {b} _{021}&={\frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}-\omega _{23}\mathbf {N} _{2}\right),&&\\\mathbf {b} _{102}&={\frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{1}-\omega _{31}\mathbf {N} _{3}\right),&\mathbf {b} _{201}&={\frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{3}-\omega _{13}\mathbf {N} _{1}\right),&&\\\mathbf {b} _{120}&={\frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{1}-\omega _{21}\mathbf {N} _{2}\right),&\mathbf {b} _{210}&={\frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}-\omega _{12}\mathbf {N} _{1}\right)&\qquad {\text{with}}\quad \omega _{ij}&=\left(\mathbf {P} _{j}-\mathbf {P} _{i}\right)\cdot \mathbf {N} _{i}.\\\end{aligned}}$$Это определение гарантирует, что исходные нормали вершин воспроизводятся в интерполированном треугольнике.

Наконец, точка внутреннего контроля ${\textstyle (i=j=k=1)}$выводится из ранее рассчитанных контрольных точек как $${\begin{aligned}\mathbf {b} _{111}&=\mathbf {E} +{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} -\mathbf {V} \right)\\{\text{with}}&\quad \mathbf {E} ={\frac {1}{6}}\left(\mathbf {b} _{012}+\mathbf {b} _{021}+\mathbf {b} _{102}+\mathbf {b} _{201}+\mathbf {b} _{120}+\mathbf {b} _{210}\right)\\{\text{and}}&\quad \mathbf {V} ={\frac {1}{3}}\left(\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}\right).\end{aligned}}$$

Альтернативная внутренняя точка управления $${\begin{aligned}\mathbf {b} _{111}&=\mathbf {E} +5\left(\mathbf {E} -\mathbf {V} \right)\end{aligned}}$$было предложено в.