Цикл Ходжа

В дифференциальной геометрии цикл Ходжа или класс Ходжа — это особый вид класса гомологии, определенный на комплексном алгебраическом многообразии V или, в более общем смысле, на кэлеровом многообразии . Класс гомологий x в группе гомологий

$H_{k}(V,\mathbb {C} )=H$

где V — неособое комплексное алгебраическое многообразие или кэлерово многообразие — цикл Ходжа , если оно удовлетворяет двум условиям. Во-первых, k — четное целое число. $2p$, а в в прямую сумму разложении H , существование которого показано в теории Ходжа , x имеет чисто тип $(p,p)$. Во-вторых, x — рациональный класс в том смысле, что он лежит в образе гомоморфизма абелевой группы

$H_{k}(V,\mathbb {Q} )\to H$

определенный в алгебраической топологии (как частный случай теоремы об универсальных коэффициентах ). Таким образом, общепринятый термин « цикл Ходжа» немного неточный, поскольку x рассматривается как класс ( границы по модулю ); но это нормальное использование.

Важность циклов Ходжа заключается прежде всего в гипотезе Ходжа о том, что циклы Ходжа всегда должны быть алгебраическими циклами , поскольку V — полное алгебраическое многообразие . Это нерешенная проблема, одна из проблем Премии тысячелетия . Известно, что цикл Ходжа является необходимым условием того, чтобы быть рациональным алгебраическим циклом, и известны многочисленные частные случаи этой гипотезы.

Ссылки

• «Гипотеза Ходжа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]