Винерская серия

В математике ряд Винера , или Винеровское G-функциональное расширение , берет свое начало из книги Норберта Винера 1958 года . Это ортогональное разложение нелинейных функционалов, тесно связанных с рядом Вольтерра и имеющих к нему такое же отношение, как разложение ортогонального полинома Эрмита к степенному ряду . По этой причине оно также известно как расширение Винера-Эрмита . Аналог коэффициентов называется ядрами Винера . Члены ряда ортогональны (некоррелированы) по отношению к статистическому входному сигналу белого шума . Это свойство позволяет идентифицировать термы в приложениях методом Ли-Шетцена .

Ряд Винера важен для идентификации нелинейных систем . В этом контексте ряд аппроксимирует функциональное отношение вывода ко всей истории ввода системы в любой момент времени. Ряд Винера в основном применялся для идентификации биологических систем, особенно в нейробиологии .

Название ряда Винера используется почти исключительно в теории систем . В математической литературе оно встречается как разложение Ито (1951), имеющее другую форму, но полностью эквивалентное ему.

Ряд Винера не следует путать с фильтром Винера , который представляет собой еще один алгоритм, разработанный Норбертом Винером и используемый при обработке сигналов.

Винеровские G-функциональные выражения

Дана система с парой ввода/вывода. $(x(t),y(t))$ где входной сигнал представляет собой белый шум с нулевым средним значением и мощностью A, мы можем записать выходной сигнал системы как сумму ряда винеровских G-функционалов $y(n)=\sum _{p}(G_{p}x)(n)$

Далее будут даны выражения G-функционалов до пятого порядка:

{{Clarify}}

$(G_{0}x)(n)=k_{0}=E\left\{y(n)\right\};$

$(G_{1}x)(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{1}-1}k_{1}(\tau _{1})x(n-\tau _{1});$

$(G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});$

$(G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});$

${\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}$

См. также

• серия Вольтерра
• Идентификация системы
• Среднее значение, вызванное спайками

Ссылки

• Винер, Норберт (1958). Нелинейные задачи случайной теории . Уайли и MIT Press.
• Ли и Шетцен; Шетцен‡, М. (1965). «Измерение ядер Винера нелинейной системы методом взаимной корреляции». Международный журнал контроля . Первый. 2 (3): 237–254. дои : 10.1080/00207176508905543 .
• Ито К. «Множественный интеграл Винера» J. Math. Соц. Япония. 3 1951 157–169
• Мармарелис, ПЗ; Нака, К. (1972). «Анализ белого шума нейронной цепи: применение теории Винера». Наука . 175 (4027): 1276–1278. Бибкод : 1972Sci...175.1276M . дои : 10.1126/science.175.4027.1276 . ПМИД   5061252 .
• Шетцен, Мартин (1980). Теории Вольтерра и Винера нелинейных систем . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-04455-0 .
• Мармарелис, ПЗ (1991). «Винеровский анализ нелинейной обратной связи». Сенсорные системы Анналы биомедицинской инженерии . 19 (4): 345–382. дои : 10.1007/BF02584316 . ПМИД   1741522 .
• Франц, М; Шёлкопф, Б. (2006). «Объединяющий взгляд на теорию Винера и Вольтерра и полиномиальную ядерную регрессию». Нейронные вычисления . 18 (12): 3097–3118. дои : 10.1162/neco.2006.18.12.3097 . ПМИД   17052160 .
• Л. А. Заде О представлении нелинейных операторов. IRE Westcon Конв. Рекорд ч.2 1957 г. 105-113.