Стандартизированное среднее значение контрастной переменной

В статистике стандартизированное среднее контрастной переменной (SMCV или SMC) является параметром, оценивающим величину эффекта . SMCV определяется как среднее значение , деленное на стандартное отклонение переменной контрастной . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} одностороннего дисперсионного анализа. SMCV был впервые предложен для случаев ^{[ 2 ]} а затем был распространен на случаи многофакторного дисперсионного анализа . ^{[ 3 ]}

Фон

Важны последовательные интерпретации силы группового сравнения, представленной контрастом. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Когда в сравнении участвуют только две группы, SMCV соответствует строго стандартизированной разнице средних значений (SSMD). SSMD принадлежит к популярному типу измерения величины эффекта, называемому «стандартизованные средние различия». ^{[ 6 ]} который включает в себя Коэна $d$ ^{[ 7 ]} и Гласса $\delta .$ ^{[ 8 ]}

В ANOVA аналогичным параметром для измерения силы группового сравнения является стандартизированная величина эффекта (SES). ^{[ 9 ]} Одна из проблем SES заключается в том, что его значения несопоставимы по контрасту с разными коэффициентами. У SMCV такой проблемы нет.

Концепция

Предположим, что случайные значения в t группах, представленных случайными величинами $G_{1},G_{2},\ldots ,G_{t}$ иметь средства $\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{t}$ и отклонения $\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2},\ldots ,\sigma _{t}^{2}$ , соответственно. Контрастная переменная $V$ определяется

V=\sum _{i=1}^{t}c_{i}G_{i},

где $c_{i}$ - это набор коэффициентов, представляющих сравнение интересов и удовлетворяющих $\sum _{i=1}^{t}c_{i}=0$ . SMCV контрастной переменной $V$ , обозначенный $\lambda$ , определяется как ^{[ 1 ]}

\lambda ={\frac {\operatorname {E} (V)}{\operatorname {stdev} (V)}}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}\mu _{i}}{\sqrt {{\text{Var}}\left(\sum _{i=1}^{t}c_{i}G_{i}\right)}}}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}\mu _{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+2\sum _{i=1}^{t}\sum _{j=i}c_{i}c_{j}\sigma _{ij}}}}

где $\sigma _{ij}$ это ковариация $G_{i}$ и $G_{j}$ . Когда $G_{1},G_{2},\ldots ,G_{t}$ независимы,

\lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}\mu _{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}}}.

Правило классификации силы групповых сравнений

Численность населения (обозначается $\lambda$ ) SMCV можно использовать для классификации силы сравнения, представленной переменной контрастности , как показано в следующей таблице. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Это правило классификации имеет вероятностную основу из-за связи между SMCV и c. ⁺-вероятность . ^{[ 1 ]}

Тип эффекта	Подтип эффекта	Пороги для отрицательного SMCV	Пороги положительного SMCV
Очень большой	Чрезвычайно сильный	$\lambda \leq -5$	$\lambda \geq 5$
	Очень сильный	$-5<\lambda \leq -3$	$5>\lambda \geq 3$
	Сильный	$-3<\lambda \leq -2$	$3>\lambda \geq 2$
	Довольно сильный	$-2<\lambda \leq -1.645$	$2>\lambda \geq 1.645$
Большой	Умеренный	$-1.645<\lambda \leq -1.28$	$1.645>\lambda \geq 1.28$
Большой	Довольно умеренный	$-1.28<\lambda \leq -1$	$1.28>\lambda \geq 1$
Середина	Довольно слабый	$-1<\lambda \leq -0.75$	$1>\lambda \geq 0.75$
	Слабый	$-0.75<\lambda <-0.5$	$0.75>\lambda >0.5$
	Очень слабый	$-0.5\leq \lambda <-0.25$	$0.5\geq \lambda >0.25$
Маленький	Чрезвычайно слабый	$-0.25\leq \lambda <0$	$0.25\geq \lambda >0$
Маленький	Нет эффекта	$\lambda =0$

Статистическая оценка и выводы

Представленные ниже оценка и вывод SMCV предназначены для однофакторных экспериментов. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Также обсуждались оценка и вывод SMCV для многофакторных экспериментов. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

Оценка SMCV зависит от того, как в ходе исследования получаются образцы. Когда группы коррелируют, обычно трудно оценить ковариацию между группами. В таком случае хорошей стратегией является получение совпадающих или парных образцов (или субъектов) и проведение контрастного анализа на основе совпадающих образцов. Простым примером анализа сопоставленного контраста является анализ парной разницы эффектов препарата после и до приема препарата у одних и тех же пациентов. Напротив, другая стратегия состоит в том, чтобы не сопоставлять и не объединять образцы, а проводить контрастный анализ на основе несовпадающих или непарных образцов. Простым примером непревзойденного контрастного анализа является сравнение эффективности нового препарата, принимаемого одними пациентами, и стандартного препарата, принимаемого другими пациентами. Методы оценки SMCV и c ⁺-вероятность в анализе сопоставленного контраста может отличаться от вероятности, используемой в анализе несовпадающего контраста.

Непревзойденные образцы

Рассмотрим независимую выборку размером $n_{i}$ ,

Y_{i}=\left(Y_{i1},Y_{i2},\ldots ,Y_{in_{i}}\right)

из $i^{\text{th}}(i=1,2,\ldots ,t)$ группа $G_{i}$ . $Y_{i}$ независимы. Позволять ${\bar {Y}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}Y_{ij}$ ,

s_{i}^{2}={\frac {1}{n_{i}-1}}\sum _{j=1}^{n_{i}}\left(Y_{ij}-{\bar {Y}}_{i}\right)^{2},

N=\sum _{i=1}^{t}n_{i}

и

{\text{MSE }}={\frac {1}{N-t}}\sum _{i=1}^{t}\left(n_{i}-1\right)s_{i}^{2}.

Когда $t$ группы имеют неравную дисперсию, оценку максимального правдоподобия (MLE) и оценку метода момента (MM) SMCV ( $\lambda$ ) соответственно ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

{\hat {\lambda }}_{\text{MLE }}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}{\frac {n_{i}-1}{n_{i}}}c_{i}^{2}s_{i}^{2}}}}

и

{\hat {\lambda }}_{\text{MM}}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}s_{i}^{2}}}}.

Когда $t$ группы имеют равную дисперсию, в предположении нормальности, несмещенную оценку равномерно минимальной дисперсии (UMVUE) SMCV ( $\lambda$ ) является ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

{\hat {\lambda }}_{\text{UMVUE}}={\sqrt {\frac {K}{N-t}}}{\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}{\text{MSE }}c_{i}^{2}}}}

где $K={\frac {2\left(\Gamma \left({\frac {N-t}{2}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left({\frac {N-t-1}{2}}\right)\right)^{2}}}$ .

Доверительный интервал SMCV можно определить с использованием следующего нецентрального t-распределения : ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

T={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}{\text{MSE }}c_{i}^{2}/n_{i}}}}\sim {\text{noncentral }}t(N-t,b\lambda )

где $b={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}/n_{i}}}}.$

Соответствующие образцы

При анализе сопоставленного контраста предположим, что существуют $n$ независимые образцы $\left(Y_{1j},Y_{2j},\cdots ,Y_{tj}\right)$ от $t$ группы ( $G_{i}$ х), где $i=1,2,\cdots ,t;j=1,2,\cdots ,n$ . Тогда $j^{\text{th}}$ наблюдаемое значение контраста $V=\sum _{i=1}^{t}c_{i}G_{i}$ является $v_{j}=\sum _{i=1}^{t}c_{i}Y_{i}$ .

Позволять ${\bar {V}}$ и $s_{V}^{2}$ быть выборочным средним и выборочной дисперсией контрастной переменной $V$ , соответственно. При допущении нормальности оценка UMVUE SMCV равна ^{[ 1 ]}

{\hat {\lambda }}_{\text{UMVUE}}={\sqrt {\frac {K}{n-1}}}{\frac {\bar {V}}{s_{V}}}

где $K={\frac {2\left(\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left({\frac {n-2}{2}}\right)\right)^{2}}}.$

Доверительный интервал для SMCV можно определить, используя следующее нецентральное t-распределение : ^{[ 1 ]}

T={\frac {\bar {V}}{s_{V}/{\sqrt {n}}}}\sim {\text{noncentral }}t\left(n-1,{\sqrt {n}}\lambda \right).

См. также

Сюжет с двойным фонариком

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Чжан XHD (2011). Оптимальный высокопроизводительный скрининг: практический план эксперимента и анализ данных для исследования РНКи в масштабе генома . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-73444-8 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Чжан XHD (2009). «Метод эффективного сравнения эффектов генов в различных условиях в исследованиях RNAi и профиля экспрессии». Фармакогеномика . 10 : 345–58. дои : 10.2217/14622416.10.3.345 . ПМИД 20397965 .
^ Jump up to: ^а ^б Чжан XHD (2010). «Оценка размера эффектов гена или РНКи в многофакторных экспериментах с высокой производительностью». Фармакогеномика . 11 : 199–213. дои : 10.2217/PGS.09.136 . ПМИД 20136359 .
^ Розенталь Р., Роснов Р.Л., Рубин Д.Б. (2000). Контрасты и величина эффекта в поведенческих исследованиях . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-65980-9 .
^ Хьюберти CJ (2002). «История индексов величины эффекта». Образовательные и психологические измерения . 62 : 227–40. дои : 10.1177/0013164402062002002 .
^ Кирк Р.Э. (1996). «Практическое значение: концепция, время которой пришло». Образовательные и психологические измерения . 56 : 746–59. дои : 10.1177/0013164496056005002 .
^ Коэн Дж (1962). «Статистическая сила аномально-социальных психологических исследований: обзор». Журнал аномальной и социальной психологии . 65 : 145–53. дои : 10.1037/h0045186 . ПМИД 13880271 .
^ Стеклянный Г.В. (1976). «Первичный, вторичный и метаанализ исследований». Исследователь образования . 5 : 3–8. дои : 10.3102/0013189X005010003 .
^ Штайгер Дж. Х. (2004). «За пределами F-теста: доверительные интервалы размера эффекта и тесты на близкое соответствие в дисперсионном и контрастном анализе». Психологические методы . 9 : 164–82. дои : 10.1037/1082-989x.9.2.164 . ПМИД 15137887 .

[ZhangBook2011-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Чжан XHD (2011). Оптимальный высокопроизводительный скрининг: практический план эксперимента и анализ данных для исследования РНКи в масштабе генома . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-73444-8 .

[ZhangPharmacogenomics2009-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Чжан XHD (2009). «Метод эффективного сравнения эффектов генов в различных условиях в исследованиях RNAi и профиля экспрессии». Фармакогеномика . 10 : 345–58. дои : 10.2217/14622416.10.3.345 . ПМИД 20397965 .

[ZhangPharmacogenomics2010-3] Jump up to: ^а ^б Чжан XHD (2010). «Оценка размера эффектов гена или РНКи в многофакторных экспериментах с высокой производительностью». Фармакогеномика . 11 : 199–213. дои : 10.2217/PGS.09.136 . ПМИД 20136359 .

[RosenthaletalBook2000-4] Розенталь Р., Роснов Р.Л., Рубин Д.Б. (2000). Контрасты и величина эффекта в поведенческих исследованиях . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-65980-9 .

[Huberty2002-5] Хьюберти CJ (2002). «История индексов величины эффекта». Образовательные и психологические измерения . 62 : 227–40. дои : 10.1177/0013164402062002002 .

[Kirk1996-6] Кирк Р.Э. (1996). «Практическое значение: концепция, время которой пришло». Образовательные и психологические измерения . 56 : 746–59. дои : 10.1177/0013164496056005002 .

[Cohen1962-7] Коэн Дж (1962). «Статистическая сила аномально-социальных психологических исследований: обзор». Журнал аномальной и социальной психологии . 65 : 145–53. дои : 10.1037/h0045186 . ПМИД 13880271 .

[Glass1976-8] Стеклянный Г.В. (1976). «Первичный, вторичный и метаанализ исследований». Исследователь образования . 5 : 3–8. дои : 10.3102/0013189X005010003 .

[9] Штайгер Дж. Х. (2004). «За пределами F-теста: доверительные интервалы размера эффекта и тесты на близкое соответствие в дисперсионном и контрастном анализе». Психологические методы . 9 : 164–82. дои : 10.1037/1082-989x.9.2.164 . ПМИД 15137887 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]